Номер 28, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Две высоты треугольника равны 6 и 9. Угол между ними равен $60^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими соответствующим вершинам. Пусть $h_a=6$ и $h_c=9$ — высоты, проведенные к сторонам $BC$ (длиной $a$) и $AB$ (длиной $c$) соответственно. Пусть $B$ — угол между сторонами $a$ и $c$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через сторону и высоту, а также через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

$S = \frac{1}{2} ac \sin(B)$

Угол $\alpha$ между высотами $h_a$ и $h_c$ связан с углом $B$ треугольника. Если рассмотреть четырехугольник, образованный вершиной $B$, точкой пересечения высот (ортоцентром) и основаниями высот на сторонах $a$ и $c$, то можно установить, что угол между высотами равен либо $B$, либо $180^\circ - B$. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

Таким образом, у нас есть два возможных случая для угла $B$:

1. Угол $B = 60^\circ$.

2. Угол $180^\circ - B = 60^\circ$, что означает $B = 120^\circ$.

Важно отметить, что в обоих случаях значение $\sin(B)$ будет одинаковым, так как $\sin(60^\circ) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем общий способ решения. Из формул для площади выразим стороны $a$ и $c$:

$a = \frac{2S}{h_a}$

$c = \frac{2S}{h_c}$

Подставим эти выражения в третью формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2S}{h_a} \right) \left( \frac{2S}{h_c} \right) \sin(B)$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{2S^2}{h_a h_c} \sin(B)$

Поскольку площадь треугольника $S$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:

$1 = \frac{2S}{h_a h_c} \sin(B)$

Отсюда выразим площадь $S$:

$S = \frac{h_a h_c}{2 \sin(B)}$

Подставим известные значения: $h_a = 6$, $h_c = 9$ и $\sin(B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$S = \frac{6 \cdot 9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{54}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S = \frac{54 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}$

Ответ: $18\sqrt{3}$.