Номер 23, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Площадь прямоугольного треугольника равна 12. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Обозначим длину меньшего катета прямоугольного треугольника как $x$. Согласно условию задачи, другой катет на 2 больше, следовательно, его длина составляет $x + 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

В нашем случае $S = 12$, $a = x$ и $b = x + 2$. Подставим эти значения в формулу: $12 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2: $24 = x \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $24 = x^2 + 2x$ $x^2 + 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку длина катета треугольника является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x = -6$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, длина меньшего катета равна 4.

Проверка: если меньший катет равен 4, то больший равен $4 + 2 = 6$. Площадь треугольника будет равна $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$, что соответствует условию.

Ответ: 4