Номер 19, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Площадь параллелограмма равна 10. Найдите площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с площадью $S_{ABCD} = 10$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ соответственно. Четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Площадь искомого параллелограмма $KLMN$ можно найти, вычтя из площади исходного параллелограмма $ABCD$ площади четырех треугольников, расположенных по углам: $\triangle AKN, \triangle BKL, \triangle CML$ и $\triangle DNM$.

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DNM})$

Найдем площади этих треугольников. Пусть смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны $a$ и $b$ (то есть $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$), а угол между ними — $\alpha$. Тогда площадь параллелограмма $S_{ABCD} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$.

Площади всех четырех угловых треугольников равны. Покажем это на примере двух из них.

• Рассмотрим $\triangle AKN$. Его стороны $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $AN = \frac{1}{2}AD = \frac{b}{2}$. Угол между ними $\angle A = \alpha$. Площадь треугольника: $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AN \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha$.
• Рассмотрим $\triangle BKL$. Его стороны $BK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Угол между ними $\angle B = 180^\circ - \alpha$. Площадь треугольника: $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BL \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha$.

Суммарная площадь четырех угловых треугольников составляет: $S_{углов} = 4 \cdot \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь можем найти площадь внутреннего параллелограмма $KLMN$: $S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Подставляем известное значение площади $S_{ABCD} = 10$: $S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Таким образом, площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма, в два раза меньше площади исходного параллелограмма.

Ответ: 5