Страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 12 и одна сторона в два раза больше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а большая сторона — $b$.

Согласно условию задачи, одна сторона в два раза больше другой. Это можно записать в виде уравнения: $b = 2a$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$. Нам дано, что периметр равен 12. Подставим это значение в формулу:

$12 = 2(a + b)$

Чтобы найти сумму длин сторон, разделим обе части уравнения на 2:

$6 = a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$b = 2a$

$a + b = 6$

Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:

$a + 2a = 6$

$3a = 6$

Теперь найдем длину меньшей стороны $a$:

$a = \frac{6}{3} = 2$

Зная $a$, найдем длину большей стороны $b$:

$b = 2a = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 и 4.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot b$.

Подставим найденные значения сторон в формулу площади:

$S = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8

8. Диагонали прямоугольника равны 8. Угол между ними равен $45^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь выпуклого четырехугольника (а прямоугольник является таковым) можно вычислить по формуле, использующей длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Из условия задачи нам известно, что диагонали прямоугольника равны 8, то есть $d_1 = d_2 = 8$. Угол между ними составляет $\alpha = 45°$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(45°)$

Выполним вычисления. Значение синуса 45 градусов равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 16\sqrt{2}$

Ответ: $16\sqrt{2}$

9. Площадь квадрата равна 10. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{1} = a^2 = 10$.Новый квадрат построен путем соединения середин сторон исходного квадрата. Его вершины делят стороны исходного квадрата пополам.Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, которые "отсекаются" по углам исходного квадрата при построении нового. Катеты каждого такого треугольника равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{a}{2}$.Сторона нового квадрата, обозначим ее $b$, является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Площадь нового квадрата $S_{2}$ равна $b^2$.Следовательно, $S_{2} = \frac{a^2}{2}$.Так как площадь исходного квадрата $S_{1} = a^2 = 10$, мы можем подставить это значение в формулу для площади нового квадрата:$S_{2} = \frac{10}{2} = 5$.Таким образом, площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата, в два раза меньше площади исходного квадрата.
Ответ: 5

шками которого является середины сторон данного квадрата.

10. Площадь квадрата, описанного около окружности, равна 16. Найдите площадь квадрата, вписанного в эту окружность.

Пусть $a_1$ — сторона квадрата, описанного около окружности. Его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a_1^2$.

Согласно условию задачи, площадь этого квадрата равна 16. Отсюда мы можем найти длину его стороны:

$a_1^2 = 16$

$a_1 = \sqrt{16} = 4$

Для квадрата, описанного около окружности, его сторона равна диаметру $d$ этой окружности. Следовательно, диаметр окружности $d = a_1 = 4$.

Теперь рассмотрим квадрат, вписанный в эту же окружность. Диагональ вписанного квадрата, обозначим ее $d_2$, равна диаметру окружности, в которую он вписан. Таким образом:

$d_2 = d = 4$

Площадь квадрата ($S_2$) можно найти, зная его диагональ, по формуле $S = \frac{d^2}{2}$. Применим эту формулу для вписанного квадрата:

$S_2 = \frac{d_2^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 8.

Ответ: 8

11. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 2 и 4, а один из углов равен $150^\circ$.

11. Для нахождения площади параллелограмма можно использовать формулу, которая связывает длины двух его смежных сторон и синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — это длины сторон, а $\alpha$ — угол между этими сторонами.

По условию задачи даны стороны параллелограмма $a = 2$ и $b = 4$, а также один из углов $\alpha = 150°$.

Подставим известные значения в формулу площади: $S = 2 \cdot 4 \cdot \sin(150°)$.

Чтобы найти значение $\sin(150°)$, воспользуемся формулой приведения: $\sin(180° - x) = \sin(x)$. В нашем случае: $\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°)$.

Значение синуса 30 градусов — это известная тригонометрическая константа: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем вычислить площадь: $S = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: 4

12. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол — $45^\circ$.

Для нахождения площади ромба воспользуемся формулой $S = a \cdot h$, где $a$ – сторона ромба, а $h$ – его высота. По условию, высота $h = 2$. Нам необходимо найти длину стороны $a$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба (которая будет гипотенузой), высотой (которая будет катетом, противолежащим острому углу ромба) и отрезком на другой стороне ромба. Острый угол этого треугольника равен острому углу ромба, то есть $\alpha = 45^\circ$.
Соотношение между сторонами в этом прямоугольном треугольнике определяется через синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$
Отсюда мы можем выразить сторону $a$:
$a = \frac{h}{\sin(\alpha)}$
Подставим известные значения $h=2$ и $\alpha=45^\circ$ в эту формулу. Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$a = \frac{2}{\sin(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
Теперь мы можем вычислить площадь ромба, зная его сторону $a = 2\sqrt{2}$ и высоту $h=2$:
$S = a \cdot h = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$.

13. Найдите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 6 и 8, а меньшая высота равна 4.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение его стороны (основания) на высоту, проведенную к этой стороне.

Пусть стороны параллелограмма равны $a=8$ и $b=6$. К каждой из этих сторон можно провести высоту. Пусть $h_a$ — это высота, проведенная к стороне $a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$. Тогда площадь параллелограмма можно найти двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

Из равенства $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ следует, что большей стороне параллелограмма соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая высота.

В нашей задаче даны стороны 8 и 6. Большая сторона равна 8. По условию, меньшая высота равна 4. Следовательно, эта высота проведена к большей стороне.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, умножив большую сторону на соответствующую ей (меньшую) высоту: $S = 8 \cdot 4 = 32$.

Ответ: 32

14. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, опущенные на эти стороны, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

По условию задачи имеем:

Меньшая сторона $a = 9$.

Большая сторона $b = 15$.

Высота, опущенная на меньшую сторону, $h_a = 10$.

Требуется найти высоту, опущенную на большую сторону, $h_b$.

Площадь параллелограмма ($S$) можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону. С одной стороны, формула площади выглядит так:

$S = a \cdot h_a$

Подставим известные значения:

$S = 9 \cdot 10 = 90$

С другой стороны, площадь этого же параллелограмма можно вычислить, используя большую сторону и соответствующую ей высоту:

$S = b \cdot h_b$

Поскольку площадь параллелограмма — это постоянная величина, мы можем приравнять два выражения для площади или подставить уже найденное значение $S$ во вторую формулу:

$90 = 15 \cdot h_b$

Теперь найдем неизвестную высоту $h_b$:

$h_b = \frac{90}{15}$

$h_b = 6$

Таким образом, высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна 6.

Ответ: 6

15. Параллелограмм и прямоугольник имеют равные стороны.

Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна

половине площади прямоугольника.

Пусть стороны параллелограмма и, соответственно, равные им стороны прямоугольника равны a и b.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение его смежных сторон:

$S_{пр} = a \cdot b$

Площадь параллелограмма ($S_{пар}$) вычисляется как произведение его смежных сторон на синус угла между ними. Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма.

$S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Согласно условию задачи, площадь параллелограмма равна половине площади прямоугольника:

$S_{пар} = \frac{1}{2} S_{пр}$

Подставим в это равенство выражения для площадей:

$a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a \cdot b)$

Поскольку a и b — это длины сторон, их произведение $a \cdot b$ не равно нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на него:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$

половине площади прямоугольника.

16. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12.
Найдите другую диагональ.

Для нахождения второй диагонали ромба воспользуемся формулой площади ромба через его диагонали. Площадь ромба $S$ равна половине произведения его диагоналей $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
Согласно условию задачи, площадь ромба $S = 18$, а длина одной из его диагоналей, пусть это будет $d_1$, равна $12$.
Подставим известные значения в формулу и выразим неизвестную диагональ $d_2$:
$18 = \frac{12 \cdot d_2}{2}$
Сначала упростим выражение в правой части уравнения:
$18 = 6 \cdot d_2$
Теперь, чтобы найти $d_2$, разделим обе части уравнения на 6:
$d_2 = \frac{18}{6}$
$d_2 = 3$
Следовательно, длина второй диагонали ромба составляет 3.
Ответ: 3

17. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Площадь ромба вычисляется через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

По условию задачи, площадь ромба $S = 6$.

Пусть меньшая диагональ равна $x$. Тогда, согласно условию, большая диагональ будет в 3 раза больше, то есть $3x$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$6 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x$

Решим полученное уравнение:

$6 = \frac{3x^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$12 = 3x^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = 4$

Так как длина диагонали является положительной величиной, находим корень:

$x = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

Ответ: 2

18. Диагонали параллелограмма равны 6 и 8. Угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле через длины его диагоналей и синус угла между ними. Формула выглядит следующим образом:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$,где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Длина первой диагонали $d_1 = 6$.

Длина второй диагонали $d_2 = 8$.

Угол между диагоналями $\alpha = 30°$.

Теперь подставим эти значения в нашу формулу для вычисления площади:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30°)$

Значение синуса 30 градусов является табличной величиной:$\sin(30°) = \frac{1}{2}$

Подставляем значение синуса и производим расчет:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$

Следовательно, площадь параллелограмма равна 12.

Ответ: 12

19. Площадь параллелограмма равна 10. Найдите площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с площадью $S_{ABCD} = 10$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ соответственно. Четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Площадь искомого параллелограмма $KLMN$ можно найти, вычтя из площади исходного параллелограмма $ABCD$ площади четырех треугольников, расположенных по углам: $\triangle AKN, \triangle BKL, \triangle CML$ и $\triangle DNM$.

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DNM})$

Найдем площади этих треугольников. Пусть смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны $a$ и $b$ (то есть $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$), а угол между ними — $\alpha$. Тогда площадь параллелограмма $S_{ABCD} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$.

Площади всех четырех угловых треугольников равны. Покажем это на примере двух из них.

• Рассмотрим $\triangle AKN$. Его стороны $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $AN = \frac{1}{2}AD = \frac{b}{2}$. Угол между ними $\angle A = \alpha$. Площадь треугольника: $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AN \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha$.
• Рассмотрим $\triangle BKL$. Его стороны $BK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Угол между ними $\angle B = 180^\circ - \alpha$. Площадь треугольника: $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BL \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha$.

Суммарная площадь четырех угловых треугольников составляет: $S_{углов} = 4 \cdot \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь можем найти площадь внутреннего параллелограмма $KLMN$: $S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Подставляем известное значение площади $S_{ABCD} = 10$: $S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Таким образом, площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма, в два раза меньше площади исходного параллелограмма.

Ответ: 5

20.Найдите площадь ромба, стороны которого равны 3, а радиус вписанной в него окружности равен 1.

Площадь ромба можно найти по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – сторона ромба, а $h$ – его высота.

Из условия задачи нам известна сторона ромба: $a = 3$.

Высота ромба, в который можно вписать окружность, всегда равна диаметру этой вписанной окружности. Диаметр $d$ связан с радиусом $r$ соотношением $d = 2r$.

В нашем случае радиус вписанной окружности $r = 1$. Следовательно, мы можем найти высоту ромба:

$h = d = 2 \cdot r = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, зная сторону и высоту ромба, мы можем вычислить его площадь:

$S = a \cdot h = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6.

21. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, согласно которой она равна половине произведения его катетов. Если обозначить катеты как $a$ и $b$, а площадь как $S$, то формула будет выглядеть следующим образом: $S = \frac{1}{2}ab$.

В условии задачи даны длины катетов: $a = 5$ и $b = 8$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8$

Сначала вычислим произведение катетов:

$5 \cdot 8 = 40$

Теперь разделим полученное значение на 2:

$S = \frac{40}{2} = 20$

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 20 квадратных единиц.
Ответ: 20

22. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника используется формула $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – его катеты.

В условии задачи нам дан один катет и гипотенуза. Пусть катет $a = 6$, а гипотенуза $c = 10$. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить длину второго катета $b$.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

Отсюда находим длину второго катета $b$:

$b = \sqrt{64} = 8$

Теперь, зная оба катета ($a=6$ и $b=8$), мы можем вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$

Ответ: 24.

23. Площадь прямоугольного треугольника равна 12. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Обозначим длину меньшего катета прямоугольного треугольника как $x$. Согласно условию задачи, другой катет на 2 больше, следовательно, его длина составляет $x + 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

В нашем случае $S = 12$, $a = x$ и $b = x + 2$. Подставим эти значения в формулу: $12 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2: $24 = x \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $24 = x^2 + 2x$ $x^2 + 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку длина катета треугольника является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x = -6$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, длина меньшего катета равна 4.

Проверка: если меньший катет равен 4, то больший равен $4 + 2 = 6$. Площадь треугольника будет равна $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$, что соответствует условию.

Ответ: 4

24. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^{\circ}$. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь треугольника.

Для решения этой задачи можно использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ – это две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

В условии задачи нам дан равнобедренный треугольник. Угол при вершине, противолежащей основанию, – это как раз угол между двумя равными боковыми сторонами. По условию:

• Боковые стороны равны, то есть $a = b = 10$.
• Угол между ними $\gamma = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(30^{\circ})$

Известно, что значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} = \frac{100}{4} = 25$

Ответ: 25