Страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Во время тренировки бейсболист бросил мяч высоко и, пробежав по прямой, поймал его. Сравните перемещения: игрока и мяча.

Перемещение — это вектор, который соединяет начальное положение тела с его конечным положением. В условии задачи сказано, что бейсболист бросил мяч и, пробежав, поймал его. Это означает, что начальная точка движения (момент броска) и конечная точка движения (момент ловли) для игрока и мяча совпадают. Пусть начальная точка — А, а конечная — Б. Тогда перемещение игрока — это вектор $\vec{s}_{игрока}$, направленный из точки А в точку Б. Перемещение мяча — это вектор $\vec{s}_{мяча}$, также направленный из точки А в точку Б. Поскольку оба вектора имеют одинаковое начало и одинаковый конец, они равны.

Следует различать перемещение и пройденный путь. Путь — это длина траектории. Траектория игрока — это отрезок прямой, а траектория мяча — параболическая дуга. Длина дуги больше длины отрезка, который она соединяет, поэтому путь, пройденный мячом, больше пути, пройденного игроком. Однако их перемещения одинаковы.

Ответ: Перемещения игрока и мяча равны (одинаковы).

Верно ли, что два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они одинаково направлены или противоположно направлены?

Да, это утверждение является верным и представляет собой одно из определений коллинеарных векторов.

По основному геометрическому определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Из этого определения следует, что если векторы коллинеарны, то у них может быть только два варианта взаимного направления:

1. Векторы направлены в одну и ту же сторону. В этом случае их называют сонаправленными (или одинаково направленными). Для таких векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется обозначение $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Векторы направлены в противоположные стороны. В этом случае их называют противоположно направленными. Для таких векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ используется обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{c}$.

Таким образом, утверждение, что два ненулевых вектора коллинеарны, если они одинаково направлены или противоположно направлены, полностью соответствует геометрическому смыслу коллинеарности.

Алгебраически коллинеарность двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выражается через существование такого действительного числа $k \neq 0$, что выполняется равенство: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

При этом, если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это еще раз подтверждает правильность утверждения, приведенного в вопросе.

Ответ: Да, утверждение верно.

1. Что называется вектором?

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Какие два вектора называются:

a) одинаково направленными;

б) противоположно направленными?

4. Какие два вектора называются коллинеарными?

5. Что называется длиной (модулем) вектора?

6. Какие два вектора называются равными?

1. Что называется вектором?

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом. Вектор характеризуется своим направлением и длиной (модулем). Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначается как $\vec{AB}$. Также векторы часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например, $\vec{a}, \vec{b}$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором (или нуль-вектором) называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Например, вектор $\vec{AA}$ является нулевым. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление считается неопределенным. Обозначается нулевой вектор символом $\vec{0}$.

Ответ: Нулевой вектор — это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, его длина равна нулю.

3. Какие два вектора называются: а) одинаково направленными; б) противоположно направленными?

а) одинаково направленными

Два ненулевых вектора называются одинаково направленными (или сонаправленными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Сонаправленность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Ответ: Одинаково направленные (сонаправленные) векторы — это коллинеарные векторы, которые указывают в одном направлении.

б) противоположно направленными

Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но направлены в противоположные стороны. Противоположная направленность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Ответ: Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, которые указывают в противоположных направлениях.

4. Какие два вектора называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

5. Что называется длиной (модулем) вектора?

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, который представляет этот вектор. Длина вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$, а длина вектора $\vec{AB}$ — как $|\vec{AB}|$. Длина вектора — это неотрицательная величина. Длина нулевого вектора равна нулю: $|\vec{0}|=0$. Если в прямоугольной системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y)$, то его длина вычисляется по теореме Пифагора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Ответ: Длина (модуль) вектора — это расстояние между его начальной и конечной точками.

6. Какие два вектора называются равными?

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Таким образом, для равенства векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} = \vec{b}$) необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Векторы сонаправлены: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Длины векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Равные векторы можно совместить друг с другом путем параллельного переноса.

Ответ: Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковое направление и одинаковую длину.