Номер 4, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Сколько неравных векторов задают стороны правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Вектор определяется его длиной (модулем) и направлением. Два вектора равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Нам нужно найти количество уникальных, то есть не равных друг другу, векторов, которые можно построить на сторонах правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ имеет 6 сторон: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Каждая сторона как отрезок может задавать два противоположно направленных вектора. Например, сторона $AB$ задает векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Таким образом, всего стороны шестиугольника задают $6 \times 2 = 12$ векторов:$\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$ и их противоположные $\vec{BA}, \vec{CB}, \vec{DC}, \vec{ED}, \vec{FE}, \vec{AF}$.

Для нахождения количества неравных векторов, сгруппируем равные между собой. Воспользуемся свойствами правильного шестиугольника:

1. Все стороны равны по длине: $|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FA|$. Это означает, что все 12 векторов имеют одинаковый модуль. Следовательно, для равенства векторов достаточно, чтобы они были сонаправлены.

2. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel FA$.

Рассмотрим векторы, лежащие на параллельных сторонах:

1. Стороны $AB$ и $DE$ параллельны. При обходе вершин шестиугольника в одном направлении (например, против часовой стрелки $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ будут сонаправлены. Так как их длины равны, то векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DE}$. Соответственно, равны и их противоположные векторы: $\vec{BA} = \vec{ED}$.

2. Стороны $BC$ и $EF$ параллельны. Аналогично, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{EF}$ сонаправлены и равны по длине: $\vec{BC} = \vec{EF}$. Следовательно, равны и их противоположные векторы: $\vec{CB} = \vec{FE}$.

3. Стороны $CD$ и $FA$ параллельны. Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{FA}$ сонаправлены и равны по длине: $\vec{CD} = \vec{FA}$. Следовательно, равны и их противоположные векторы: $\vec{DC} = \vec{AF}$.

Таким образом, все 12 векторов можно разбить на 6 пар равных векторов:

• $\{\vec{AB}, \vec{DE}\}$
• $\{\vec{BC}, \vec{EF}\}$
• $\{\vec{CD}, \vec{FA}\}$
• $\{\vec{BA}, \vec{ED}\}$
• $\{\vec{CB}, \vec{FE}\}$
• $\{\vec{DC}, \vec{AF}\}$

Каждая из этих пар представляет собой один уникальный вектор. Векторы из разных пар не равны, так как они имеют разное направление (например, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ образуют угол $120^\circ$, а $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ противоположно направлены). Следовательно, количество неравных векторов равно количеству таких пар, то есть 6.

Ответ: 6