Номер 11, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Основание $AB$ трапеции $ABCD$ равно 12 см, угол $A$ прямой, $AD = 5$ см, $\angle B = 45^\circ$. Найдите длины векторов:

а) $\overline{BD}$;

б) $\overline{BC}$;

в) $\overline{AC}$.

а)

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине отрезка $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, угол $A$ в трапеции прямой, следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным с катетами $AD$ и $AB$. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона $BD$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BD^2 = AD^2 + AB^2$

Подставим известные значения из условия: $AD = 5$ см и $AB = 12$ см.

$BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Чтобы найти длину $BD$, извлечем квадратный корень:

$BD = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине отрезка $BC$. Для ее нахождения проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$.

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $DC$, то $DC \parallel AB$. Поскольку $AD \perp AB$ и $CH \perp AB$, то $AD \parallel CH$. Таким образом, четырехугольник $ADCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AD = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CH = 5$ см и угол $\angle B = 45^\circ$.

Мы можем найти гипотенузу $BC$ через синус угла $B$:

$\sin(\angle B) = \frac{CH}{BC}$

Подставляем известные значения:

$\sin(45^\circ) = \frac{5}{BC}$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{BC}$

Выражаем $BC$:

$BC = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

в)

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине отрезка $AC$. Для ее нахождения воспользуемся прямоугольным треугольником $ACH$, который образовался после проведения высоты $CH$ в пункте б).

В треугольнике $ACH$ (угол $H = 90^\circ$) сторона $AC$ является гипотенузой. Чтобы применить теорему Пифагора, нам нужно знать длины катетов $AH$ и $CH$. Длина $CH$ нам известна: $CH = 5$ см.

Найдем длину катета $AH$. Для этого вернемся к треугольнику $CHB$. Так как он прямоугольный и один из его острых углов $\angle B = 45^\circ$, то и второй острый угол $\angle BCH$ также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $CHB$ — равнобедренный, и его катеты равны: $HB = CH = 5$ см.

Основание $AB$ состоит из двух отрезков: $AB = AH + HB$.

Подставим известные значения $AB = 12$ см и $HB = 5$ см:

$12 = AH + 5$

Отсюда находим $AH = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для треугольника $ACH$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$

Извлекаем квадратный корень:

$AC = \sqrt{74}$ см.

Ответ: $\sqrt{74}$ см.