Задания, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Изобразите: а) три; б) четыре вектора. Определите их сумму.

Докажите, что операция сложения векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

а) три вектора

Чтобы найти сумму трех произвольных векторов, например, $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, используется графический метод, называемый правилом многоугольника.
1. На плоскости выбирается произвольная начальная точка, назовем ее O.
2. От точки O откладывается вектор, равный вектору $\vec{a}$. Его конец обозначается точкой A. Таким образом, мы получаем вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
3. От конца первого вектора, то есть от точки A, откладывается вектор, равный вектору $\vec{b}$. Его конец обозначается точкой B, получая вектор $\vec{AB} = \vec{b}$.
4. От конца второго вектора, точки B, откладывается вектор, равный вектору $\vec{c}$. Его конец обозначается точкой C, получая вектор $\vec{BC} = \vec{c}$.
5. Суммой векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ является вектор, который соединяет начальную точку первого вектора (O) с конечной точкой последнего вектора (C). Этот результирующий вектор $\vec{s}$ равен $\vec{OC}$.
Математически это записывается так: $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{OC}$.

Ответ: Сумма трех векторов определяется по правилу многоугольника: векторы последовательно откладываются так, что начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего. Вектор суммы соединяет начало первого вектора с концом последнего.

б) четыре вектора

Сложение четырех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ выполняется по тому же правилу многоугольника.
1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Последовательно откладываем векторы друг за другом:
- от точки O откладываем $\vec{OA} = \vec{a}$;
- от точки A откладываем $\vec{AB} = \vec{b}$;
- от точки B откладываем $\vec{BC} = \vec{c}$;
- от точки C откладываем $\vec{CD} = \vec{d}$.
3. Результирующий вектор (сумма) $\vec{s}$ — это вектор, идущий из начальной точки O в конечную точку D.
Таким образом, $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{OD}$.

Ответ: Сумма четырех векторов находится по правилу многоугольника. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора с концом четвертого после их последовательного откладывания "цепочкой".

Докажите, что операция сложения векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

Для доказательства рассмотрим сложение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Обобщение для любого количества векторов можно провести по методу математической индукции.
Пусть нам нужно найти сумму $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$.

1. Выполним сложение, выбрав в качестве начальной произвольную точку O.
Отложим от точки O вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{OA} = \vec{a}$. Затем от точки A отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{AB} = \vec{b}$.
По правилу треугольника (частный случай правила многоугольника) вектор суммы $\vec{s_1}$ будет равен $\vec{OB}$.

2. Теперь выберем другую произвольную начальную точку O' и повторим построение.
Отложим от точки O' вектор $\vec{O'A'}$, равный вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{O'A'} = \vec{a}$. Затем от точки A' отложим вектор $\vec{A'B'}$, равный вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{A'B'} = \vec{b}$.
В этом случае вектор суммы $\vec{s_2}$ будет равен $\vec{O'B'}$.

3. Наша задача — доказать, что полученные векторы суммы равны, то есть $\vec{s_1} = \vec{s_2}$ или $\vec{OB} = \vec{O'B'}$.
Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону) и имеют одинаковую длину.

Рассмотрим четырехугольник OO'A'A. По построению $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{O'A'} = \vec{a}$. Так как векторы $\vec{OA}$ и $\vec{O'A'}$ равны, они параллельны и их длины равны. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, OO'A'A — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что две другие его стороны также равны и параллельны, то есть $\vec{OO'} = \vec{AA'}$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник AA'B'B. По построению $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{A'B'} = \vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$ равны, а четырехугольник AA'B'B является параллелограммом. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.

4. Мы получили два равенства: $\vec{OO'} = \vec{AA'}$ и $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.
По свойству транзитивности отсюда следует, что $\vec{OO'} = \vec{BB'}$.
Это равенство означает, что отрезки OO' и BB' параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник OO'B'B также является параллелограммом.
В параллелограмме OO'B'B противоположные стороны OB и O'B' равны и параллельны. Это означает, что векторы $\vec{OB}$ и $\vec{O'B'}$ равны.
Таким образом, $\vec{s_1} = \vec{OB} = \vec{O'B'} = \vec{s_2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что результирующий вектор суммы не зависит от выбора начальной точки, так как при построении суммы векторов из разных начальных точек (O и O') итоговые векторы суммы ($\vec{OB}$ и $\vec{O'B'}$) являются противоположными сторонами параллелограмма OO'B'B и, следовательно, равны друг другу.