Вопросы, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как определяется операция сложения векторов?

2. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

3. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

4. Как складываются три вектора?

1. Как определяется операция сложения векторов?

Операция сложения векторов определяется как нахождение нового вектора, называемого суммой или результирующим вектором, который является результатом объединения действия исходных векторов. Существует несколько эквивалентных способов определения этой операции.

Геометрические способы:

1. Правило треугольника. Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца первого вектора ($\vec{a}$) отложить второй вектор ($\vec{b}$). Тогда вектор суммы ($\vec{a} + \vec{b}$) будет начинаться в начальной точке вектора $\vec{a}$ и заканчиваться в конечной точке вектора $\vec{b}$. Если вектор $\vec{a}$ представлен как $\vec{AB}$, а вектор $\vec{b}$ как $\vec{BC}$, то их сумма — это вектор $\vec{AC}$, то есть $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

2. Правило параллелограмма. Чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их нужно отложить от одной общей точки. Затем на этих векторах, как на сторонах, достраивается параллелограмм. Вектор суммы ($\vec{a} + \vec{b}$) будет являться диагональю этого параллелограмма, выходящей из общей начальной точки векторов. Если $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, и OACB — параллелограмм, то $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Алгебраический способ:

3. Сложение по координатам. Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, то их сумма находится путем сложения соответствующих координат. Например, для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, их сумма равна $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$. В трехмерном пространстве для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ сумма будет $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$.

Ответ: Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$, а конец — с концом вектора $\vec{b}$, при условии, что вектор $\vec{b}$ отложен от конца вектора $\vec{a}$ (правило треугольника). Альтернативно, это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящая из их общего начала. В координатной форме — это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов.

2. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

Переместительный (или коммутативный) закон сложения векторов гласит, что результат сложения двух векторов не зависит от порядка, в котором они складываются. Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Этот закон легко доказывается геометрически с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от общего начала O, получив векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, и достроить на них параллелограмм OACB, то его диагональ $\vec{OC}$ будет их суммой. С одной стороны, по правилу треугольника, $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$. Так как $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{OB} = \vec{b}$, то $\vec{OC} = \vec{a} + \vec{b}$. С другой стороны, $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$. Так как $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{OA} = \vec{a}$, то $\vec{OC} = \vec{b} + \vec{a}$. Таким образом, оба выражения равны одному и тому же вектору $\vec{OC}$.

Ответ: Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

3. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения векторов утверждает, что при сложении трех и более векторов результат не зависит от того, как они сгруппированы для последовательного сложения. Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство:

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Геометрически этот закон можно продемонстрировать, построив векторную ломаную. Пусть из точки A отложен вектор $\vec{AB} = \vec{a}$, из точки B — вектор $\vec{BC} = \vec{b}$, а из точки C — вектор $\vec{CD} = \vec{c}$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$. Сначала складываем $\vec{a}$ и $\vec{b}$, получая по правилу треугольника вектор $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$. Затем к нему прибавляем вектор $\vec{c}$: $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Теперь рассмотрим правую часть: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$. Сначала складываем $\vec{b}$ и $\vec{c}$, получая вектор $\vec{BD} = \vec{b} + \vec{c}$. Затем к вектору $\vec{a}$ прибавляем полученный результат: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Поскольку в обоих случаях получается один и тот же замыкающий вектор $\vec{AD}$, закон доказан.

Ответ: Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

4. Как складываются три вектора?

Сложение трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ можно выполнить несколькими способами, которые приводят к одному и тому же результату благодаря сочетательному закону.

1. Правило многоугольника (правило цепи). Это обобщение правила треугольника. Чтобы сложить три вектора, их располагают последовательно: начало второго вектора совмещают с концом первого, а начало третьего — с концом второго. Суммой трех векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ будет вектор, проведенный из начальной точки первого вектора ($\vec{a}$) в конечную точку последнего вектора ($\vec{c}$).

2. Правило параллелепипеда. Этот способ применяется для трех некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов. Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ отложить от общего начала, а затем на них, как на ребрах, построить параллелепипед, то суммой этих векторов будет главная диагональ этого параллелепипеда, выходящая из их общего начала.

3. Координатный метод. Если векторы заданы своими координатами, например, в пространстве: $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$, $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$, $\vec{c} = (x_c, y_c, z_c)$, то их сумма — это вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат исходных векторов:$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (x_a + x_b + x_c, y_a + y_b + y_c, z_a + z_b + z_c)$.

Ответ: Три вектора складываются либо последовательно по правилу треугольника, либо с помощью правила многоугольника (вектор суммы замыкает ломаную, построенную из этих векторов), либо с помощью правила параллелепипеда (для некомпланарных векторов), либо путем сложения их соответствующих координат.