Номер 7, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Сторона равностороннего треугольника ABC равна $a$. Найдите:

а) $|\overline{AB} + \overline{BC}|$;

б) $|\overline{AB} + \overline{AC}|$;

в) $|\overline{AB} + \overline{CB}|$.

По условию задачи, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все углы равны $60^\circ$. Следовательно, длины (модули) векторов, совпадающих со сторонами треугольника, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$.

а) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{BC}|$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля). Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (C).
Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Модуль этого вектора равен длине стороны $AC$.
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$.
Ответ: $a$

б) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{AC}|$, воспользуемся правилом параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки A. Их суммой является вектор $\vec{AD}$, который представляет собой диагональ параллелограмма ABDC, построенного на этих векторах.
Модуль суммы двух векторов можно вычислить по формуле, которая является следствием теоремы косинусов:
$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.
В нашем случае $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{AC}$. Их модули равны $a$. Угол между ними $\angle BAC = 60^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(60^\circ)$
$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Ответ: $a\sqrt{3}$

в) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{CB}|$, преобразуем один из векторов. Вектор $\vec{CB}$ можно представить в виде суммы векторов, выходящих из вершины A, по правилу треугольника: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + (\vec{CA} + \vec{AB}) = 2\vec{AB} + \vec{CA}$.
Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $|2\vec{AB} - \vec{AC}|$.
Воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$.
$|2\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = (2\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot (2\vec{AB} - \vec{AC})$
$= 4(\vec{AB} \cdot \vec{AB}) - 4(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AC} \cdot \vec{AC})$
$= 4|\vec{AB}|^2 - 4|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(60^\circ) + |\vec{AC}|^2$.
Подставим известные значения $|\vec{AB}|=a$, $|\vec{AC}|=a$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:
$= 4a^2 - 4(a)(a)\frac{1}{2} + a^2 = 4a^2 - 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$|\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Ответ: $a\sqrt{3}$