Номер 10, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Упростите выражение:

а) $(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB});$

б) $\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC}.$

в) $\overline{EF} + \overline{GH} + \overline{FG} + \overline{HE};$

г) $\overline{AB} + \overline{DE} + \overline{BC} + \overline{EA} + \overline{CD}.$

а) Для упрощения выражения $(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB})$ раскроем скобки и воспользуемся переместительным свойством сложения векторов, чтобы сгруппировать слагаемые:
$(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB}) = \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BA} + \overline{CB} = (\overline{AB} + \overline{BA}) + (\overline{AC} + \overline{CB})$.
Сумма противоположных векторов $\overline{AB}$ и $\overline{BA}$ равна нулевому вектору: $\overline{AB} + \overline{BA} = \vec{0}$.
По правилу треугольника (правило Шаля) сложения векторов, сумма векторов $\overline{AC}$ и $\overline{CB}$ равна вектору $\overline{AB}$, так как конец первого вектора (точка C) совпадает с началом второго: $\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}$.
Подставим полученные результаты в выражение:
$\vec{0} + \overline{AB} = \overline{AB}$.
Ответ: $\overline{AB}$.

б) В выражении $\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC}$ используем переместительное свойство сложения и переставим слагаемые для удобства применения правила сложения векторов:
$\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD}$.
Теперь применим правило треугольника (правило Шаля) последовательно. Сначала сложим первые два вектора:
$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.
Затем к полученному результату прибавим оставшийся вектор:
$\overline{AC} + \overline{CD} = \overline{AD}$.
Ответ: $\overline{AD}$.

в) Для упрощения выражения $\overline{EF} + \overline{GH} + \overline{FG} + \overline{HE}$ перегруппируем слагаемые, используя переместительное свойство сложения, чтобы составить непрерывную цепочку векторов (правило многоугольника):
$\overline{EF} + \overline{FG} + \overline{GH} + \overline{HE}$.
Эта сумма векторов образует замкнутый контур E → F → G → H → E. Сумма векторов, образующих замкнутый контур, всегда равна нулевому вектору.
Проверим это, применяя правило Шаля последовательно:
$(\overline{EF} + \overline{FG}) + (\overline{GH} + \overline{HE}) = \overline{EG} + \overline{GE}$.
Векторы $\overline{EG}$ и $\overline{GE}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору:
$\overline{EG} + \overline{GE} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

г) Рассмотрим выражение $\overline{AB} + \overline{DE} + \overline{BC} + \overline{EA} + \overline{CD}$. Как и в предыдущем пункте, переставим слагаемые, чтобы векторы следовали друг за другом, образуя замкнутый многоугольник:
$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EA}$.
Эта сумма представляет собой замкнутый путь по вершинам пятиугольника A → B → C → D → E → A. Сумма векторов, образующих такой путь, равна нулевому вектору.
Применим правило Шаля последовательно для проверки:
$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$;
$\overline{AC} + \overline{CD} = \overline{AD}$;
$\overline{AD} + \overline{DE} = \overline{AE}$;
$\overline{AE} + \overline{EA} = \vec{0}$.
Таким образом, вся сумма равна нулевому вектору.
Ответ: $\vec{0}$.