Номер 17, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема о пропорциональных отрезках (Обобщенная теорема Фалеса)

Теорема о пропорциональных отрезках является фундаментальной теоремой в геометрии, устанавливающей связь между отрезками, которые образуются, когда пучок параллельных прямых пересекает две другие прямые.

Формулировка теоремы

Если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые на одной прямой, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой прямой.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, и их пересекают три (или более) параллельные прямые $p_1, p_2, p_3$. Пусть точки пересечения с прямой $l_1$ — это $A_1, A_2, A_3$, а с прямой $l_2$ — $B_1, B_2, B_3$ (так, что $A_1, B_1 \in p_1$; $A_2, B_2 \in p_2$; $A_3, B_3 \in p_3$). Тогда теорема утверждает, что выполняется следующее соотношение:

$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $

Это равенство можно записать и в других формах, например: $ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} $.

Доказательство

Доказательство можно провести для двух основных случаев: когда прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются и когда они параллельны.

Случай 1: Прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются.

Рассмотрим доказательство в общем виде. Пусть три параллельные прямые $p_1, p_2, p_3$ пересекают прямые $l_1$ и $l_2$ (которые могут пересекаться или быть параллельными). Обозначения точек $A_1, A_2, A_3$ на $l_1$ и $B_1, B_2, B_3$ на $l_2$ остаются прежними.

1. Проведем через точку $A_2$ прямую $l'$, параллельную прямой $l_2$. Пусть $l'$ пересекает прямые $p_1$ и $p_3$ в точках $C_1$ и $C_3$.

2. Четырехугольники $A_2C_1B_1B_2$ и $A_2C_3B_3B_2$ являются параллелограммами, так как их противоположные стороны попарно параллельны. Из этого следует, что $A_2C_1 = B_2B_1$ и $A_2C_3 = B_2B_3$.

3. Рассмотрим угол, образованный пересекающимися в точке $A_2$ прямыми $l_1$ и $l'$. Прямые $A_1C_1$ и $A_3C_3$ параллельны друг другу (так как они лежат на параллельных прямых $p_1$ и $p_3$).

4. Треугольники $\triangle A_2A_1C_1$ и $\triangle A_2A_3C_3$ подобны по двум углам: $\angle A_1A_2C_1 = \angle A_3A_2C_3$ как вертикальные; $\angle A_2C_1A_1 = \angle A_2C_3A_3$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $p_1, p_3$ и секущей $l'$.

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{A_2A_1}{A_2A_3} = \frac{A_2C_1}{A_2C_3} $.

6. Подставляя сюда равенства из пункта 2, получаем: $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $, что и требовалось доказать.

Случай 2: Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

В этом случае четырехугольники $A_1A_2B_2B_1$ и $A_2A_3B_3B_2$ являются параллелограммами. Следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$. Отношение $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ также очевидно выполняется.

Обратная теорема

Теорема, обратная теореме о пропорциональных отрезках, также верна: если прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны.

Например, если $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $, то прямые, проходящие через пары точек $(A_1, B_1)$, $(A_2, B_2)$ и $(A_3, B_3)$, параллельны между собой.

Теорема Фалеса (частный случай)

Очень важным и часто используемым следствием является теорема Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Это напрямую следует из основной теоремы: если $A_1A_2 = A_2A_3$, то из пропорции $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ следует, что левая часть равна 1, значит, и правая часть равна 1, то есть $B_1B_2 = B_2B_3$.

Применение

Эта теорема широко используется для доказательства других геометрических фактов, особенно связанных с подобием фигур. Одно из известных практических применений — деление отрезка на $n$ равных частей с помощью циркуля и линейки.

Ответ:

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) гласит, что параллельные прямые, пересекая две другие прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Математически: если параллельные прямые пересекают прямую $l_1$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $l_2$ в точках $B_1, B_2, B_3$, то $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $. Доказательство теоремы основывается на свойствах подобных треугольников. Верна и обратная теорема. Частным случаем является теорема Фалеса, которая утверждает, что если на одной прямой отсекаются равные отрезки ($A_1A_2 = A_2A_3$), то и на другой прямой отсекаются равные отрезки ($B_1B_2 = B_2B_3$).