Страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Определите операцию умножения (произведения) вектора на число. Рассмотрите случаи, когда число:

а) больше нуля;

б) равно нулю;

в) меньше нуля.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ (также называемое скаляром) является вектор $\vec{b}$, обозначаемый как $k\vec{a}$. Этот вектор $\vec{b}$ определяется следующими свойствами:

1. Длина (модуль) вектора: Длина вектора $\vec{b}$ равна длине вектора $\vec{a}$, умноженной на абсолютное значение (модуль) числа $k$. Формула: $|\vec{b}| = |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Направление вектора: Вектор $\vec{b}$ всегда коллинеарен вектору $\vec{a}$ (то есть они лежат на одной или на параллельных прямых). Направление вектора $\vec{b}$ относительно $\vec{a}$ зависит от знака числа $k$.

Рассмотрим три случая для значения числа $k$.

а) больше нуля

Если число $k$ положительно ($k > 0$), то результирующий вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и исходный вектор $\vec{a}$. Такие векторы называются сонаправленными, что обозначается как $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Длина нового вектора равна произведению числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$, поскольку $|k| = k$ для $k > 0$. Таким образом, $|k\vec{a}| = k \cdot |\vec{a}|$.

Ответ: Если число $k$ больше нуля, то вектор $k\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина в $k$ раз больше длины вектора $\vec{a}$.

б) равно нулю

Если число $k$ равно нулю ($k = 0$), то произведение любого вектора $\vec{a}$ на это число есть нулевой вектор, обозначаемый как $\vec{0}$. Нулевой вектор — это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Его длина равна нулю: $|0 \cdot \vec{a}| = |0| \cdot |\vec{a}| = 0 \cdot |\vec{a}| = 0$. Направление нулевого вектора не определено.

Ответ: Если число $k$ равно нулю, то произведение $k\vec{a}$ является нулевым вектором $\vec{0}$.

в) меньше нуля

Если число $k$ отрицательно ($k < 0$), то результирующий вектор $k\vec{a}$ направлен в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{a}$. Такие векторы называются противоположно направленными, что обозначается как $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$. Длина нового вектора равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Так как $k$ отрицательно, то $|k| = -k$ (например, $|-3| = 3$).

Ответ: Если число $k$ меньше нуля, то вектор $k\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, а его длина равна $|k| \cdot |\vec{a}|$.

16. Выразите длину произведения вектора на число через длину данного вектора и данное число.

Пусть дан вектор $\vec{a}$ и действительное число (скаляр) $k$. Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является новый вектор, который мы обозначим как $k\vec{a}$. Задача состоит в том, чтобы выразить длину вектора $k\vec{a}$ (обозначается $|k\vec{a}|$) через длину вектора $\vec{a}$ и число $k$.

Длина вектора, полученного в результате умножения исходного вектора на число, равна произведению модуля этого числа на длину исходного вектора. Это свойство можно строго доказать, используя координаты вектора.

Рассмотрим вектор $\vec{a}$ в n-мерном пространстве с координатами $(x_1, x_2, \dots, x_n)$. Его длина вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$.

При умножении вектора $\vec{a}$ на число $k$ каждая его координата умножается на это число. Таким образом, новый вектор $k\vec{a}$ будет иметь координаты $(kx_1, kx_2, \dots, kx_n)$. Теперь найдем его длину: $|k\vec{a}| = \sqrt{(kx_1)^2 + (kx_2)^2 + \dots + (kx_n)^2}$.

Раскроем скобки под корнем и вынесем общий множитель $k^2$: $|k\vec{a}| = \sqrt{k^2x_1^2 + k^2x_2^2 + \dots + k^2x_n^2} = \sqrt{k^2(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)}$.

Используя свойство квадратного корня ($\sqrt{AB} = \sqrt{A}\sqrt{B}$), мы можем разделить выражение на два множителя: $|k\vec{a}| = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$.

Поскольку $\sqrt{k^2}$ по определению равно модулю числа $k$, то есть $|k|$, а выражение $\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$ есть не что иное, как длина исходного вектора $|\vec{a}|$, мы приходим к итоговой формуле.

Ответ: Длина произведения вектора $\vec{a}$ на число $k$ выражается формулой $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, где $|k|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $k$, а $|\vec{a}|$ — это длина (модуль) вектора $\vec{a}$.

Теорема о пропорциональных отрезках (Обобщенная теорема Фалеса)

Теорема о пропорциональных отрезках является фундаментальной теоремой в геометрии, устанавливающей связь между отрезками, которые образуются, когда пучок параллельных прямых пересекает две другие прямые.

Формулировка теоремы

Если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые на одной прямой, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой прямой.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, и их пересекают три (или более) параллельные прямые $p_1, p_2, p_3$. Пусть точки пересечения с прямой $l_1$ — это $A_1, A_2, A_3$, а с прямой $l_2$ — $B_1, B_2, B_3$ (так, что $A_1, B_1 \in p_1$; $A_2, B_2 \in p_2$; $A_3, B_3 \in p_3$). Тогда теорема утверждает, что выполняется следующее соотношение:

$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $

Это равенство можно записать и в других формах, например: $ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} $.

Доказательство

Доказательство можно провести для двух основных случаев: когда прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются и когда они параллельны.

Случай 1: Прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются.

Рассмотрим доказательство в общем виде. Пусть три параллельные прямые $p_1, p_2, p_3$ пересекают прямые $l_1$ и $l_2$ (которые могут пересекаться или быть параллельными). Обозначения точек $A_1, A_2, A_3$ на $l_1$ и $B_1, B_2, B_3$ на $l_2$ остаются прежними.

1. Проведем через точку $A_2$ прямую $l'$, параллельную прямой $l_2$. Пусть $l'$ пересекает прямые $p_1$ и $p_3$ в точках $C_1$ и $C_3$.

2. Четырехугольники $A_2C_1B_1B_2$ и $A_2C_3B_3B_2$ являются параллелограммами, так как их противоположные стороны попарно параллельны. Из этого следует, что $A_2C_1 = B_2B_1$ и $A_2C_3 = B_2B_3$.

3. Рассмотрим угол, образованный пересекающимися в точке $A_2$ прямыми $l_1$ и $l'$. Прямые $A_1C_1$ и $A_3C_3$ параллельны друг другу (так как они лежат на параллельных прямых $p_1$ и $p_3$).

4. Треугольники $\triangle A_2A_1C_1$ и $\triangle A_2A_3C_3$ подобны по двум углам: $\angle A_1A_2C_1 = \angle A_3A_2C_3$ как вертикальные; $\angle A_2C_1A_1 = \angle A_2C_3A_3$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $p_1, p_3$ и секущей $l'$.

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{A_2A_1}{A_2A_3} = \frac{A_2C_1}{A_2C_3} $.

6. Подставляя сюда равенства из пункта 2, получаем: $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $, что и требовалось доказать.

Случай 2: Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

В этом случае четырехугольники $A_1A_2B_2B_1$ и $A_2A_3B_3B_2$ являются параллелограммами. Следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$. Отношение $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ также очевидно выполняется.

Обратная теорема

Теорема, обратная теореме о пропорциональных отрезках, также верна: если прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны.

Например, если $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $, то прямые, проходящие через пары точек $(A_1, B_1)$, $(A_2, B_2)$ и $(A_3, B_3)$, параллельны между собой.

Теорема Фалеса (частный случай)

Очень важным и часто используемым следствием является теорема Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Это напрямую следует из основной теоремы: если $A_1A_2 = A_2A_3$, то из пропорции $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ следует, что левая часть равна 1, значит, и правая часть равна 1, то есть $B_1B_2 = B_2B_3$.

Применение

Эта теорема широко используется для доказательства других геометрических фактов, особенно связанных с подобием фигур. Одно из известных практических применений — деление отрезка на $n$ равных частей с помощью циркуля и линейки.

Ответ:

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) гласит, что параллельные прямые, пересекая две другие прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Математически: если параллельные прямые пересекают прямую $l_1$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $l_2$ в точках $B_1, B_2, B_3$, то $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $. Доказательство теоремы основывается на свойствах подобных треугольников. Верна и обратная теорема. Частным случаем является теорема Фалеса, которая утверждает, что если на одной прямой отсекаются равные отрезки ($A_1A_2 = A_2A_3$), то и на другой прямой отсекаются равные отрезки ($B_1B_2 = B_2B_3$).