Страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

д), $b^2 + 2x^2 + y^2 - 2by - 2xy + 2x$

4. Может ли сумма двух ненулевых векторов равняться нулевому вектору? Если может, то в каком случае?

Да, сумма двух ненулевых векторов может равняться нулевому вектору. Это происходит в том случае, когда векторы являются противоположными.

Пусть есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Условие, при котором их сумма равна нулевому вектору ($\vec{0}$), записывается так:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$

Из этого уравнения следует, что один вектор должен быть противоположным другому:
$\vec{a} = -\vec{b}$

По определению, противоположные векторы — это векторы, которые удовлетворяют двум условиям:
1. Они имеют одинаковую длину (модуль), то есть $\| \vec{a} \| = \| \vec{b} \|$.
2. Они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в противоположные стороны.

Геометрически, если сложить такие векторы по правилу треугольника, отложив вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$, то конец вектора $\vec{b}$ совпадет с началом вектора $\vec{a}$. В результате мы вернемся в исходную точку, и суммарный вектор будет нулевым.

Ответ: Да, может. Сумма двух ненулевых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы равны по модулю и противоположны по направлению.

5. Может ли сумма трех ненулевых векторов равняться нулевому вектору? Если может, то приведите пример.

Да, сумма трех ненулевых векторов может равняться нулевому вектору.

Это возможно, если три вектора удовлетворяют условию замыкания. Геометрически это означает, что если отложить эти три вектора последовательно один за другим (так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего), то конец третьего вектора совпадет с началом первого. В этом случае векторы образуют замкнутый треугольник.

Математически это условие записывается как $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, где $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — ненулевые векторы.

Пример:

Чтобы найти три таких вектора, можно выбрать два произвольных ненулевых вектора, а третий вектор взять равным их сумме, но с противоположным знаком.

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(2, 4)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(1, -6)$. Оба вектора являются ненулевыми.
Найдем их сумму:
$\vec{a} + \vec{b} = (2+1, 4-6) = (3, -2)$.

Теперь выберем третий вектор $\vec{c}$ таким образом, чтобы он был противоположен сумме векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -(3, -2) = (-3, 2)$.
Вектор $\vec{c}$ также является ненулевым.

Проверим, равна ли сумма этих трех векторов нулевому вектору:
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2, 4) + (1, -6) + (-3, 2) = (2+1-3, 4-6+2) = (0, 0) = \vec{0}$.
Сумма действительно равна нулевому вектору.

Ответ: Да, может. Например, векторы $\vec{a}=(2, 4)$, $\vec{b}=(1, -6)$ и $\vec{c}=(-3, 2)$ являются ненулевыми, и их сумма равна нулевому вектору.

6. A, B, C, D — произвольные точки плоскости. Выразите через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{BC}$, $\vec{c} = \vec{CD}$ векторы:

a) $\vec{AD}$;

б) $\vec{BD}$;

в) $\vec{AC}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило сложения векторов (правило многоугольника или правило Шаля), которое гласит, что для любых точек $P_1, P_2, \dots, P_n$ вектор $ \overline{P_1P_n} $ равен сумме векторов $ \overline{P_1P_2} + \overline{P_2P_3} + \dots + \overline{P_{n-1}P_n} $.

а) Чтобы выразить вектор $ \overline{AD} $, мы можем представить его как сумму векторов, образующих ломаную линию от точки A до точки D через точки B и C.
Согласно правилу сложения векторов:
$ \overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} $
Теперь подставим данные из условия: $ \vec{a} = \overline{AB} $, $ \vec{b} = \overline{BC} $ и $ \vec{c} = \overline{CD} $.
$ \overline{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $
Ответ: $ \overline{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $.

б) Чтобы выразить вектор $ \overline{BD} $, мы представляем его как сумму векторов, идущих из точки B в точку D через точку C.
По правилу треугольника для сложения векторов:
$ \overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD} $
Подставляем известные значения векторов $ \vec{b} = \overline{BC} $ и $ \vec{c} = \overline{CD} $.
$ \overline{BD} = \vec{b} + \vec{c} $
Ответ: $ \overline{BD} = \vec{b} + \vec{c} $.

в) Чтобы выразить вектор $ \overline{AC} $, мы представляем его как сумму векторов от точки A до точки C через точку B.
Используя правило треугольника:
$ \overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} $
Подставляем данные из условия задачи: $ \vec{a} = \overline{AB} $ и $ \vec{b} = \overline{BC} $.
$ \overline{AC} = \vec{a} + \vec{b} $
Ответ: $ \overline{AC} = \vec{a} + \vec{b} $.

7. Сторона равностороннего треугольника ABC равна $a$. Найдите:

а) $|\overline{AB} + \overline{BC}|$;

б) $|\overline{AB} + \overline{AC}|$;

в) $|\overline{AB} + \overline{CB}|$.

По условию задачи, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все углы равны $60^\circ$. Следовательно, длины (модули) векторов, совпадающих со сторонами треугольника, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$.

а) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{BC}|$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля). Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (C).
Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Модуль этого вектора равен длине стороны $AC$.
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$.
Ответ: $a$

б) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{AC}|$, воспользуемся правилом параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки A. Их суммой является вектор $\vec{AD}$, который представляет собой диагональ параллелограмма ABDC, построенного на этих векторах.
Модуль суммы двух векторов можно вычислить по формуле, которая является следствием теоремы косинусов:
$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.
В нашем случае $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{AC}$. Их модули равны $a$. Угол между ними $\angle BAC = 60^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(60^\circ)$
$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Ответ: $a\sqrt{3}$

в) Чтобы найти $|\vec{AB} + \vec{CB}|$, преобразуем один из векторов. Вектор $\vec{CB}$ можно представить в виде суммы векторов, выходящих из вершины A, по правилу треугольника: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + (\vec{CA} + \vec{AB}) = 2\vec{AB} + \vec{CA}$.
Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $|2\vec{AB} - \vec{AC}|$.
Воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$.
$|2\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = (2\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot (2\vec{AB} - \vec{AC})$
$= 4(\vec{AB} \cdot \vec{AB}) - 4(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AC} \cdot \vec{AC})$
$= 4|\vec{AB}|^2 - 4|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(60^\circ) + |\vec{AC}|^2$.
Подставим известные значения $|\vec{AB}|=a$, $|\vec{AC}|=a$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:
$= 4a^2 - 4(a)(a)\frac{1}{2} + a^2 = 4a^2 - 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$|\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Ответ: $a\sqrt{3}$

8. В треугольнике ABC AC = 6, BC = 8, $\angle C = 90^\circ$. Найдите:

a) $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| $;

б) $ |\vec{AB} + \vec{BC}| $;

в) $ |\vec{CA}| + |\vec{CB}| $;

г) $ |\vec{CA} + \vec{CB}| $.

а) $|\vec{AB}| + |\vec{BC}|$
Это выражение представляет собой сумму длин (модулей) векторов. Модуль вектора $|\vec{BC}|$ равен длине катета $BC$, то есть 8. Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине гипотенузы $AB$. Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AC = 6$ и $BC = 8$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$|\vec{AB}| = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Теперь вычислим сумму длин:
$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 10 + 8 = 18$.
Ответ: 18.

б) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$
Это выражение представляет собой модуль векторной суммы. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$ (вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго).
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{AC}$, который равен длине стороны $AC$.
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 6$.
Ответ: 6.

в) $|\vec{CA}| + |\vec{CB}|$
Это выражение представляет собой сумму длин (модулей) векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
$|\vec{CA}|$ — это длина катета $AC$, которая равна 6.
$|\vec{CB}|$ — это длина катета $BC$, которая равна 8.
Следовательно, сумма длин равна:
$|\vec{CA}| + |\vec{CB}| = 6 + 8 = 14$.
Ответ: 14.

г) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$
Это выражение представляет собой модуль векторной суммы. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ выходят из одной общей точки $C$. Для их сложения применяется правило параллелограмма. Суммой векторов будет вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Поскольку угол $\angle C = 90^\circ$, векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ перпендикулярны, и параллелограмм является прямоугольником со сторонами, равными длинам этих векторов.
Модуль суммы векторов равен длине диагонали этого прямоугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:
$|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.

9. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Найдите:

а) $|\vec{AB} + \vec{CD}|;$

б) $|\vec{AB} + \vec{DE}|;$

в) $|\vec{AB} + \vec{FE}|;$

г) $|\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Пусть его сторона равна $a=1$, а центр находится в точке $O$.

Основные свойства векторов в правильном шестиугольнике:

1. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Поэтому расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = ... = |\vec{OF}| = a = 1$.

2. Противоположные стороны параллельны, а соответствующие векторы сторон — противоположно направлены. Например, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.

3. Существуют следующие равенства векторов: $\vec{BC} = \vec{AO}$, $\vec{CD} = \vec{BO}$, $\vec{DE} = \vec{CO}$ и так далее. Также $\vec{BC} = \vec{FE}$ (если совместить параллельным переносом).

4. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

5. Длина большой диагонали (например, $AD$) равна $2a=2$.

а) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{CD}|$.

В правильном шестиугольнике с центром $O$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$ (они сонаправлены, их длины равны радиусу описанной окружности, т.е. стороне шестиугольника, и они параллельны).

Таким образом, сумма векторов равна:

$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BO}$

По правилу сложения векторов (правило Шаля):

$\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}$

Модуль результирующего вектора $\vec{AO}$ равен расстоянию от вершины $A$ до центра $O$, что равно стороне шестиугольника.

$|\vec{AB} + \vec{CD}| = |\vec{AO}| = 1$

Ответ: $1$

б) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{DE}|$.

В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными. Они параллельны, а векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю.

Следовательно, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.

Тогда сумма векторов равна:

$\vec{AB} + \vec{DE} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0}$

Модуль нулевого вектора равен нулю.

$|\vec{AB} + \vec{DE}| = |\vec{0}| = 0$

Ответ: $0$

в) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{FE}|$.

В правильном шестиугольнике вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{BC}$. Это можно увидеть, если параллельно перенести вектор $\vec{FE}$ так, чтобы точка $F$ совпала с точкой $B$, тогда точка $E$ совпадет с точкой $C$.

Заменим $\vec{FE}$ на $\vec{BC}$:

$\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Найдем модуль вектора $\vec{AC}$, то есть длину диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=1$, $BC=1$. Угол между этими сторонами $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$.

По теореме косинусов:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ)$

$|\vec{AC}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE}|$.

Сгруппируем векторы, используя ассоциативность сложения:

$\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE} = (\vec{AB} + \vec{FE}) + \vec{CD}$

Из решения пункта в) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AC}$.

Подставим это в выражение:

$\vec{AC} + \vec{CD}$

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Теперь необходимо найти модуль вектора $\vec{AD}$, то есть длину большой диагонали $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника вдвое длиннее его стороны.

$|\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AB}| = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

10. Упростите выражение:

а) $(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB});$

б) $\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC}.$

в) $\overline{EF} + \overline{GH} + \overline{FG} + \overline{HE};$

г) $\overline{AB} + \overline{DE} + \overline{BC} + \overline{EA} + \overline{CD}.$

а) Для упрощения выражения $(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB})$ раскроем скобки и воспользуемся переместительным свойством сложения векторов, чтобы сгруппировать слагаемые:
$(\overline{AB} + \overline{AC}) + (\overline{BA} + \overline{CB}) = \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BA} + \overline{CB} = (\overline{AB} + \overline{BA}) + (\overline{AC} + \overline{CB})$.
Сумма противоположных векторов $\overline{AB}$ и $\overline{BA}$ равна нулевому вектору: $\overline{AB} + \overline{BA} = \vec{0}$.
По правилу треугольника (правило Шаля) сложения векторов, сумма векторов $\overline{AC}$ и $\overline{CB}$ равна вектору $\overline{AB}$, так как конец первого вектора (точка C) совпадает с началом второго: $\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}$.
Подставим полученные результаты в выражение:
$\vec{0} + \overline{AB} = \overline{AB}$.
Ответ: $\overline{AB}$.

б) В выражении $\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC}$ используем переместительное свойство сложения и переставим слагаемые для удобства применения правила сложения векторов:
$\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD}$.
Теперь применим правило треугольника (правило Шаля) последовательно. Сначала сложим первые два вектора:
$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.
Затем к полученному результату прибавим оставшийся вектор:
$\overline{AC} + \overline{CD} = \overline{AD}$.
Ответ: $\overline{AD}$.

в) Для упрощения выражения $\overline{EF} + \overline{GH} + \overline{FG} + \overline{HE}$ перегруппируем слагаемые, используя переместительное свойство сложения, чтобы составить непрерывную цепочку векторов (правило многоугольника):
$\overline{EF} + \overline{FG} + \overline{GH} + \overline{HE}$.
Эта сумма векторов образует замкнутый контур E → F → G → H → E. Сумма векторов, образующих замкнутый контур, всегда равна нулевому вектору.
Проверим это, применяя правило Шаля последовательно:
$(\overline{EF} + \overline{FG}) + (\overline{GH} + \overline{HE}) = \overline{EG} + \overline{GE}$.
Векторы $\overline{EG}$ и $\overline{GE}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору:
$\overline{EG} + \overline{GE} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

г) Рассмотрим выражение $\overline{AB} + \overline{DE} + \overline{BC} + \overline{EA} + \overline{CD}$. Как и в предыдущем пункте, переставим слагаемые, чтобы векторы следовали друг за другом, образуя замкнутый многоугольник:
$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EA}$.
Эта сумма представляет собой замкнутый путь по вершинам пятиугольника A → B → C → D → E → A. Сумма векторов, образующих такой путь, равна нулевому вектору.
Применим правило Шаля последовательно для проверки:
$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$;
$\overline{AC} + \overline{CD} = \overline{AD}$;
$\overline{AD} + \overline{DE} = \overline{AE}$;
$\overline{AE} + \overline{EA} = \vec{0}$.
Таким образом, вся сумма равна нулевому вектору.
Ответ: $\vec{0}$.

11. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм. Необходимо доказать векторное равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности, выразив все векторы через два неколлинеарных вектора, например, через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, выходящих из вершины $A$.

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{AC} + \vec{BD}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю параллелограмма и по правилу параллелограмма равен сумме векторов смежных сторон:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Вектор второй диагонали $\vec{BD}$ можно выразить через те же векторы сторон. Из треугольника $ABD$ по правилу сложения векторов имеем $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$, откуда
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Теперь сложим векторные выражения для диагоналей:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$.

Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{BC} + \vec{AD}$.
По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине, следовательно, векторы, направленные вдоль этих сторон, равны:
$\vec{BC} = \vec{AD}$.
Подставим это выражение в правую часть исходного равенства:
$\vec{BC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$.

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $2\vec{AD}$.
$2\vec{AD} = 2\vec{AD}$
Следовательно, равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

12. O – точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. 2.6). Докажите, что $ \overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} = \overline{0} $.

Рис. 2.6

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центроидом треугольника.

Рассмотрим медиану $CC_1$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма) для векторов, отложенных из точки $O$, вектор $\vec{OC_1}$ можно выразить как полусумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Согласно свойству медиан треугольника, точка их пересечения $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CC_1$ это означает, что отношение длин отрезков $CO$ и $OC_1$ равно $2:1$.

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OC_1}$ коллинеарны, так как лежат на одной прямой (медиане $CC_1$), но направлены в противоположные стороны (вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к вершине $C$, а вектор $\vec{OC_1}$ — от точки $O$ к середине стороны $AB$). Поскольку длина вектора $\vec{OC}$ вдвое больше длины вектора $\vec{OC_1}$, их можно связать следующим равенством:

$\vec{OC} = -2 \cdot \vec{OC_1}$

Теперь подставим в полученное равенство выражение для $\vec{OC_1}$:

$\vec{OC} = -2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Упрощая, получаем:

$\vec{OC} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$

Раскроем скобки:

$\vec{OC} = -\vec{OA} - \vec{OB}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$ доказано.

13. Докажите, что $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. При каком расположении векторов достигается равенство?

Доказательство неравенства $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Данное неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Докажем его алгебраически. Поскольку обе части неравенства по определению модуля неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

Левая часть в квадрате: $|\vec{a} + \vec{b}|^2$.
Правая часть в квадрате: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Рассмотрим квадрат модуля суммы векторов. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть его скалярному произведению на самого себя:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, выражение принимает вид:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Подставим это в наше выражение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть исходного неравенства, возведенную в квадрат:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сравним два полученных выражения. Мы знаем, что для любого угла $\theta$ значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos\theta \le 1$. Следовательно, $\cos\theta \le 1$. Умножая обе части этого неравенства на неотрицательную величину $2|\vec{a}||\vec{b}|$, получаем:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \le 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Прибавив к обеим частям $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$, получаем:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Это означает, что $|\vec{a} + \vec{b}|^2 \le (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем извлечь из них квадратный корень, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{|\vec{a} + \vec{b}|^2} \le \sqrt{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2}$

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Неравенство доказано.

При каком расположении векторов достигается равенство?

Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда равенство достигается и для квадратов этих величин:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Исходя из шагов доказательства, это эквивалентно следующему равенству:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычитая из обеих частей одинаковые слагаемые, получаем:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Данное равенство выполняется в следующих случаях:

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$). В этом случае его модуль равен нулю ($|\vec{a}|=0$), и равенство $0 = 0$ очевидно выполняется.

2. Если оба вектора ненулевые ($|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$). В этом случае мы можем разделить обе части на $2|\vec{a}||\vec{b}|$, получив:

$\cos\theta = 1$

Равенство $\cos\theta = 1$ истинно, когда угол $\theta$ между векторами равен $0^\circ$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, то есть являются сонаправленными.

Оба случая можно объединить в одно условие.

Ответ: Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (включая случай, когда один или оба вектора являются нулевыми).

14. Постройте равнодействующую сил, действующих на тело (рис. 2.7).

а)

б)

в)

Рис. 2.7

Равнодействующая сила – это векторная сумма всех сил, действующих на тело. Чтобы найти ее графически, нужно сложить векторы сил в соответствии с правилами сложения векторов. Обозначим равнодействующую силу как $\vec{R}$.

а) На тело, находящееся на горизонтальной поверхности, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_T}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх. В данном случае (тело в покое или движется равномерно) эти силы скомпенсированы.
Равнодействующая сила $\vec{R}$ находится как векторная сумма этих сил: $\vec{R} = \vec{F_T} + \vec{N}$.
Из рисунка видно, что векторы сил равны по модулю ($|\vec{F_T}| = |\vec{N}|$) и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. При сложении таких векторов их сумма равна нулевому вектору.
Ответ: Равнодействующая сила равна нулю, $\vec{R} = 0$.

б) На тело (шарик), подвешенное на нити и совершающее колебания, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_T}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F_н}$, направленная вдоль нити.
Для графического нахождения равнодействующей силы $\vec{R} = \vec{F_T} + \vec{F_н}$ удобнее всего использовать правило параллелограмма:
1. Приложим оба вектора к одной точке – центру масс тела.
2. На этих векторах как на сторонах достроим параллелограмм (через конец одного вектора проводим линию, параллельную другому, и наоборот).
3. Диагональ этого параллелограмма, исходящая из общей точки приложения сил, и будет являться вектором равнодействующей силы $\vec{R}$. Эта сила направлена к положению равновесия и сообщает телу центростремительное ускорение.
Ответ: Равнодействующая сила $\vec{R}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{F_T}$ и $\vec{F_н}$, и направлена к центру траектории движения.

в) На лыжника, съезжающего со склона, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_T}$ (вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (перпендикулярно поверхности склона) и сила трения $\vec{F_{тр}}$ (вдоль склона, против направления движения).
Равнодействующая сила является векторной суммой этих трех сил: $\vec{R} = \vec{F_T} + \vec{N} + \vec{F_{тр}}$.
Для ее построения применим правило многоугольника (последовательного сложения векторов):
1. Отложим вектор $\vec{F_T}$ из центра масс лыжника.
2. К концу (острию) вектора $\vec{F_T}$ пристроим начало вектора $\vec{N}$, сохраняя его направление и длину (выполнив параллельный перенос).
3. К концу полученного вектора $\vec{N}$ пристроим начало вектора $\vec{F_{тр}}$.
4. Замыкающий вектор, проведенный из начальной точки (начала вектора $\vec{F_T}$) в конечную точку (конец вектора $\vec{F_{тр}}$), и есть искомая равнодействующая сила $\vec{R}$. Она будет направлена преимущественно вдоль склона вниз и будет определять ускорение лыжника.
Ответ: Равнодействующая сила $\vec{R}$ строится по правилу многоугольника как векторная сумма сил $\vec{F_T}$, $\vec{N}$ и $\vec{F_{тр}}$ и направлена вдоль склона вниз.