Номер 9, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Найдите:

а) $|\vec{AB} + \vec{CD}|;$

б) $|\vec{AB} + \vec{DE}|;$

в) $|\vec{AB} + \vec{FE}|;$

г) $|\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Пусть его сторона равна $a=1$, а центр находится в точке $O$.

Основные свойства векторов в правильном шестиугольнике:

1. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Поэтому расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = ... = |\vec{OF}| = a = 1$.

2. Противоположные стороны параллельны, а соответствующие векторы сторон — противоположно направлены. Например, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.

3. Существуют следующие равенства векторов: $\vec{BC} = \vec{AO}$, $\vec{CD} = \vec{BO}$, $\vec{DE} = \vec{CO}$ и так далее. Также $\vec{BC} = \vec{FE}$ (если совместить параллельным переносом).

4. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

5. Длина большой диагонали (например, $AD$) равна $2a=2$.

а) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{CD}|$.

В правильном шестиугольнике с центром $O$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$ (они сонаправлены, их длины равны радиусу описанной окружности, т.е. стороне шестиугольника, и они параллельны).

Таким образом, сумма векторов равна:

$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BO}$

По правилу сложения векторов (правило Шаля):

$\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}$

Модуль результирующего вектора $\vec{AO}$ равен расстоянию от вершины $A$ до центра $O$, что равно стороне шестиугольника.

$|\vec{AB} + \vec{CD}| = |\vec{AO}| = 1$

Ответ: $1$

б) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{DE}|$.

В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $DE$ являются противоположными. Они параллельны, а векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю.

Следовательно, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.

Тогда сумма векторов равна:

$\vec{AB} + \vec{DE} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0}$

Модуль нулевого вектора равен нулю.

$|\vec{AB} + \vec{DE}| = |\vec{0}| = 0$

Ответ: $0$

в) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{FE}|$.

В правильном шестиугольнике вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{BC}$. Это можно увидеть, если параллельно перенести вектор $\vec{FE}$ так, чтобы точка $F$ совпала с точкой $B$, тогда точка $E$ совпадет с точкой $C$.

Заменим $\vec{FE}$ на $\vec{BC}$:

$\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Найдем модуль вектора $\vec{AC}$, то есть длину диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=1$, $BC=1$. Угол между этими сторонами $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$.

По теореме косинусов:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ)$

$|\vec{AC}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Требуется найти $|\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE}|$.

Сгруппируем векторы, используя ассоциативность сложения:

$\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{FE} = (\vec{AB} + \vec{FE}) + \vec{CD}$

Из решения пункта в) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AC}$.

Подставим это в выражение:

$\vec{AC} + \vec{CD}$

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Теперь необходимо найти модуль вектора $\vec{AD}$, то есть длину большой диагонали $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника вдвое длиннее его стороны.

$|\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AB}| = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$