Номер 5, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1. Найдите:

а) $\left| \overline{BA} - \overline{BC} \right|$;

б) $\left| \frac{1}{2} \overline{AB} - \overline{AC} \right|$.

По условию, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной 1. Это означает, что $AB = BC = CA = 1$, и все углы равны $60^\circ$.

а) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

Требуется найти модуль разности векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Разность двух векторов $\vec{a} - \vec{b}$, отложенных от одной точки, представляет собой вектор, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. В нашем случае, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ начинаются в точке $B$. Следовательно, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, который начинается в конечной точке вектора $\vec{BC}$ (точка $C$) и заканчивается в конечной точке вектора $\vec{BA}$ (точка $A$). Таким образом, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Модуль этого вектора равен длине отрезка $CA$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, длина стороны $CA$ равна 1. Следовательно, $|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = 1$.

Также можно решить задачу, используя скалярное произведение. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = (\vec{BA} - \vec{BC}) \cdot (\vec{BA} - \vec{BC}) = |\vec{BA}|^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC}) + |\vec{BC}|^2$. Длины векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$ равны 1. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ — это угол $\angle ABC$, который равен $60^\circ$. Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Подставляем значения в формулу: $|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = 1^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1$. Таким образом, $|\vec{BA} - \vec{BC}| = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) $|\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}|$

Требуется найти модуль вектора, равного разности $\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда вектор $\vec{AM}$ равен $\frac{1}{2}\vec{AB}$. Выражение принимает вид $|\vec{AM} - \vec{AC}|$. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ начинаются в одной точке $A$. Их разность $\vec{AM} - \vec{AC}$ — это вектор, идущий из конца вектора $\vec{AC}$ (точка $C$) в конец вектора $\vec{AM}$ (точка $M$). То есть, $\vec{AM} - \vec{AC} = \vec{CM}$. Наша задача — найти длину отрезка $CM$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. В нём известны длины двух сторон и угол между ними: длина стороны $AC$ равна 1; длина стороны $AM$ равна $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$; угол $\angle CAM$ (он же $\angle CAB$) равен $60^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $AMC$: $CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle CAM)$. Подставим известные значения: $CM^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(60^\circ)$. Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $CM^2 = 1 + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4+1-2}{4} = \frac{3}{4}$. Следовательно, длина отрезка $CM$ равна $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $|\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CM}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$