Номер 8, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Упростите выражение $\overline{AB} - \overline{DB} - \overline{CA} + \overline{DA}$.

Для упрощения данного векторного выражения $\overline{AB} - \overline{DB} - \overline{CA} + \overline{DA}$ воспользуемся основными свойствами операций с векторами.

Первый шаг — это замена вычитания на сложение с противоположным вектором. Для любого вектора $\overline{XY}$ справедливо равенство $-\overline{XY} = \overline{YX}$. Применим это правило к нашему выражению:

$-\overline{DB} = \overline{BD}$

$-\overline{CA} = \overline{AC}$

После подстановки этих равенств в исходное выражение оно примет вид:

$\overline{AB} + \overline{BD} + \overline{AC} + \overline{DA}$

Второй шаг — применение правила сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), которое гласит, что для любых трех точек P, Q, R справедливо равенство: $\overline{PQ} + \overline{QR} = \overline{PR}$. Для удобства применения этого правила сгруппируем векторы в полученном выражении, предварительно переставив слагаемые:

$(\overline{AB} + \overline{BD}) + (\overline{DA} + \overline{AC})$

Теперь упростим каждую группу, используя правило треугольника:

Для первой группы: $\overline{AB} + \overline{BD} = \overline{AD}$

Для второй группы: $\overline{DA} + \overline{AC} = \overline{DC}$

Подставим упрощенные группы обратно в выражение:

$\overline{AD} + \overline{DC}$

Наконец, еще раз применим правило треугольника к полученной сумме векторов:

$\overline{AD} + \overline{DC} = \overline{AC}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до вектора $\overline{AC}$.

Ответ: $\overline{AC}$