Номер 5, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ и точки $O$ пересечения его диагоналей (рис. 1.8) запишите векторы с началом и концом в вершинах этого шестиугольника, равные вектору:

а) $\overline{AO}$;

б) $\overline{OC}$.

Рис. 1.8

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром в точке $O$ (точке пересечения диагоналей) состоит из шести одинаковых равносторонних треугольников ($\triangle AOB, \triangle BOC$ и т.д.). Это означает, что длина любой стороны шестиугольника равна расстоянию от любой вершины до центра $O$. Например, $|AB| = |BC| = |OA| = |OB| = |OC|$ и так далее.
Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). Мы будем искать векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные заданным.

a) Найдём векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные вектору $\vec{AO}$.
1. Рассмотрим четырехугольник $ABCO$. Его стороны $OA, AB, BC, CO$ равны, так как они являются радиусами описанной окружности и сторонами шестиугольника. Следовательно, $ABCO$ — ромб. В ромбе противоположные стороны параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{BC}$ параллелен вектору $\vec{AO}$, имеет ту же длину и то же направление. Таким образом, $\vec{AO} = \vec{BC}$.
2. Рассмотрим четырехугольник $EFAO$. Он также является ромбом, поскольку его стороны $OE, EF, FA, AO$ равны. Его противоположные стороны $EF$ и $AO$ параллельны. Вектор $\vec{EF}$ равен вектору $\vec{OA}$ (так как они сонаправлены и равны по длине). Нам же нужен вектор, равный $\vec{AO}$. Поскольку $\vec{AO} = -\vec{OA}$, то $\vec{AO} = -\vec{EF} = \vec{FE}$.
Ответ: $\vec{BC}$, $\vec{FE}$.

б) Найдём векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные вектору $\vec{OC}$.
1. Рассмотрим уже упомянутый ромб $ABCO$. Его противоположные стороны $OC$ и $AB$ параллельны и равны. Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{OC} = \vec{AB}$.
2. Рассмотрим четырехугольник $CDEO$. Он также является ромбом, так как его стороны $OC, CD, DE, EO$ равны. Его противоположные стороны $OC$ и $ED$ параллельны и равны. Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{OC} = \vec{ED}$.
Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{ED}$.