Номер 2, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Сколько неравных векторов задают стороны прямоугольника (рис. 1.6)?

Рис. 1.6

2. Стороны прямоугольника $ABCD$ определяют 4 отрезка: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Каждый отрезок может задавать два противоположно направленных вектора. Таким образом, всего стороны прямоугольника задают 8 векторов:

$\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$, $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены). В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны по длине и параллельны. Это позволяет нам найти группы равных векторов.

1. Векторы, лежащие на сторонах $AB$ и $DC$.
Поскольку $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Аналогично, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они также равны: $\vec{BA} = \vec{CD}$.

2. Векторы, лежащие на сторонах $AD$ и $BC$.
Поскольку $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине, то векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Аналогично, векторы $\vec{DA}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они также равны: $\vec{DA} = \vec{CB}$.

Теперь сгруппируем все 8 векторов по признаку равенства:

- Первая группа равных векторов: $\{\vec{AB}, \vec{DC}\}$
- Вторая группа равных векторов: $\{\vec{BA}, \vec{CD}\}$
- Третья группа равных векторов: $\{\vec{AD}, \vec{BC}\}$
- Четвертая группа равных векторов: $\{\vec{DA}, \vec{CB}\}$

Векторы из разных групп не равны друг другу. Например, вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{BA}$, так как они противоположно направлены ($\vec{AB} = -\vec{BA}$). Вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{AD}$, так как они не коллинеарны (перпендикулярны).

Таким образом, существует 4 группы равных векторов. Чтобы найти количество неравных векторов, нужно взять по одному представителю из каждой группы. Например, это могут быть векторы $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Все они не равны друг другу.

Следовательно, стороны прямоугольника задают 4 неравных вектора.

Ответ: 4.