Номер 3, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 1.7). Сколько имеется неравных векторов с началом и концом в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$?

Рис. 1.7

Для решения задачи необходимо найти все возможные векторы с началом и концом в точках A, B, C, D, O, а затем посчитать количество уникальных (неравных) векторов среди них. Всего имеется 5 точек, поэтому можно образовать $5 \times 5 = 25$ векторов, включая нулевые. Сгруппируем эти векторы по принципу равенства.

1. Нулевой вектор

Векторы, у которых начальная и конечная точки совпадают, являются нулевыми векторами. Все они равны между собой. В данном случае это векторы $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, $\vec{DD}$, $\vec{OO}$. Все они представляют собой один уникальный вектор — нулевой вектор $\vec{0}$.

2. Векторы, образованные сторонами параллелограмма

По свойству параллелограмма $ABCD$ его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, построенные на этих сторонах и одинаково направленные, равны.

Рассмотрим следующие группы равных векторов:

- Группа 1: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

- Группа 2: $\vec{BA} = \vec{CD}$. Векторы этой группы противоположны векторам из группы 1.

- Группа 3: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

- Группа 4: $\vec{DA} = \vec{CB}$. Векторы этой группы противоположны векторам из группы 3.

Эти 8 векторов образуют 4 уникальных (неравных) вектора.

3. Векторы, образованные диагоналями параллелограмма

Диагонали параллелограмма в точке пересечения O делятся пополам. Из этого свойства следуют равенства для векторов, являющихся половинами диагоналей:

- Группа 5: $\vec{AO} = \vec{OC}$.

- Группа 6: $\vec{OA} = \vec{CO}$.

- Группа 7: $\vec{BO} = \vec{OD}$.

- Группа 8: $\vec{OB} = \vec{DO}$.

Эти 8 векторов образуют еще 4 уникальных вектора.

Кроме того, существуют векторы, которые совпадают с целыми диагоналями: $\vec{AC}$, $\vec{CA}$, $\vec{BD}$ и $\vec{DB}$. Каждый из этих 4 векторов уникален, так как они отличаются либо длиной, либо направлением от всех ранее рассмотренных векторов и друг от друга.

Таким образом, векторы, связанные с диагоналями, дают $4 + 4 = 8$ уникальных векторов.

4. Общее количество неравных векторов

Теперь сложим количество всех найденных уникальных векторов:

- 1 нулевой вектор.

- 4 уникальных вектора, связанных со сторонами.

- 8 уникальных векторов, связанных с диагоналями.

Итого: $1 + 4 + 8 = 13$.

Ответ: 13