Номер 9, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и равны соответственно $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Найдите длину вектора:

a) $\overline{BC}$;

б) $\overline{AO}$;

в) $\overline{BO}$.

По условию, $ABCD$ — ромб, диагонали которого $AC = 6$ см и $BD = 8$ см пересекаются в точке $O$. Длина вектора равна длине отрезка, который он представляет. То есть, найти длину вектора $\overline{XY}$ — это то же самое, что найти длину отрезка $XY$.

Воспользуемся свойствами ромба:
1. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
2. Диагонали взаимно перпендикулярны.

Из этих свойств следует, что $\triangle BOC$ является прямоугольным треугольником, где $\angle BOC = 90^\circ$.

а) $\overline{BC}$

Длина вектора $\overline{BC}$ равна длине стороны ромба $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$. Его катеты $BO$ и $CO$ являются половинами диагоналей.

Найдем длины катетов:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
$CO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BC$:
$BC^2 = BO^2 + CO^2$
$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{BC}$ равна 5 см.
Ответ: 5 см.

б) $\overline{AO}$

Длина вектора $\overline{AO}$ равна длине отрезка $AO$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC$.

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{AO}$ равна 3 см.
Ответ: 3 см.

в) $\overline{BO}$

Длина вектора $\overline{BO}$ равна длине отрезка $BO$. Отрезок $BO$ равен половине диагонали $BD$.

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{BO}$ равна 4 см.
Ответ: 4 см.