Номер 10, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Стороны треугольника $ABC$ равны 1, $O$ — точка пересечения медиан $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Найдите длину вектора:

а) $\overline{AA_1}$;

б) $\overline{AO}$;

в) $\overline{OA_1}$.

Поскольку все стороны треугольника $ABC$ равны 1, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) также являются высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан $O$ (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

а) Длина вектора $\overline{AA_1}$ равна длине отрезка $AA_1$. Так как $AA_1$ является медианой, проведённой к стороне $BC$, точка $A_1$ — середина $BC$. Следовательно, $BA_1 = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.
Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является и высотой, треугольник $ABA_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA_1B$.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABA_1$:
$AB^2 = AA_1^2 + BA_1^2$
$AA_1^2 = AB^2 - BA_1^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$AA_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, длина вектора $|\overline{AA_1}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Точка пересечения медиан $O$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AO : OA_1 = 2:1$. Это означает, что отрезок $AO$ составляет $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ от всей длины медианы $AA_1$.
Длина вектора $\overline{AO}$ равна длине отрезка $AO$:
$|\overline{AO}| = AO = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Аналогично пункту б), отрезок $OA_1$ составляет $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ от всей длины медианы $AA_1$.
Длина вектора $\overline{OA_1}$ равна длине отрезка $OA_1$:
$|\overline{OA_1}| = OA_1 = \frac{1}{3} AA_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.