Страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$, $\sin A = 0.8$. Найдите $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус острого угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета ($BC$) к гипотенузе ($AB$).

Формула для синуса угла $A$ выглядит следующим образом:$ \sin A = \frac{BC}{AB} $

Нам даны значения катета $BC = 4$ и синуса угла $A$, $\sin A = 0,8$. Подставим известные значения в формулу:$ 0,8 = \frac{4}{AB} $

Чтобы найти длину гипотенузы $AB$, выразим ее из этого уравнения:$ AB = \frac{4}{0,8} $

Выполним деление:$ AB = \frac{40}{8} = 5 $

Ответ: 5.

11. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $tgA = \frac{3}{4}$, $BC = 6$. Найдите $AC$.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ равен $90^\circ$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Для угла $A$ противолежащим катетом является сторона $BC$, а прилежащим — сторона $AC$.

Таким образом, мы можем записать формулу:

$tgA = \frac{BC}{AC}$

В задаче даны значения: $tgA = \frac{3}{4}$ и $BC = 6$. Подставим их в нашу формулу:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{AC}$

Теперь решим это уравнение относительно $AC$. Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$3 \cdot AC = 4 \cdot 6$

$3 \cdot AC = 24$

Чтобы найти $AC$, разделим обе части уравнения на 3:

$AC = \frac{24}{3}$

$AC = 8$

Ответ: 8

12. В треугольнике ABC $AC = BC$, $AB = 18$, $\cos A = 0,6$. Найдите AC.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AB$ пополам.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, в котором угол $AHC$ равен $90^\circ$. Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла $A$ в треугольнике $AHC$ имеем:

$\cos A = \frac{AH}{AC}$

Из условия задачи нам известно, что $\cos A = 0,6$, а $AH$ мы вычислили ранее. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $AC$:

$0,6 = \frac{9}{AC}$

Выразим $AC$ из этого уравнения:

$AC = \frac{9}{0,6} = \frac{90}{6} = 15$.

Ответ: 15.

13. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10$, $\sin A = 0.8$. Найдите $AB$.

13. Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC = 10$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является и медианой, поэтому она делит основание $AB$ на два равных отрезка: $AH = HB$. Таким образом, $AB = 2 \cdot AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (угол $H$ прямой). Гипотенуза $AC = 10$. Нам нужно найти катет $AH$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: $AH = AC \cdot \cos A$.

Найдем $\cos A$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Подставим данное значение $\sin A = 0,8$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Так как в треугольнике угол $A$ не может быть тупым (потому что в равнобедренном треугольнике $\angle A = \angle B$, и сумма двух тупых углов превысит $180^\circ$), он является острым, и его косинус должен быть положительным.

$\cos A = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь мы можем найти длину катета $AH$:

$AH = AC \cdot \cos A = 10 \cdot 0,6 = 6$.

Наконец, найдем длину основания $AB$:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 = 12$.

Ответ: 12.

14. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, $AB = BC$, $AC = 10$, $\cos C = 0.6$, $CH$ — высота. Найдите $AH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. Из этого следует, что и косинусы этих углов равны: $\cos A = \cos C = 0,6$.

Высота $CH$ проведена из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. По условию, угол $B$ — тупой ($\angle B > 90^\circ$). В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, падает на продолжение противолежащей стороны. Таким образом, точка $H$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точкой $B$.

Это означает, что искомая длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BH$:

$AH = AB + BH$

Для нахождения $AH$ нам нужно вычислить длины $AB$ и $BH$.

1. Нахождение длины стороны AB

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для угла $C$. Пусть $AB = BC = x$.

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$

Подставим известные значения ($AC = 10$, $\cos C = 0,6$):

$x^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot 0,6$

$0 = 100 - 12x$

$12x = 100$

$x = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$

Таким образом, $AB = BC = \frac{25}{3}$.

2. Нахождение длины отрезка BH

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). Угол $\angle HBC$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle HBC = 180^\circ - \angle ABC$.

В прямоугольном треугольнике катет $BH$ равен произведению гипотенузы $BC$ на косинус прилежащего острого угла $\angle HBC$:

$BH = BC \cdot \cos(\angle HBC) = BC \cdot \cos(180^\circ - \angle ABC) = BC \cdot (-\cos(\angle ABC))$

Теперь найдем $\cos(\angle ABC)$, применив теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$10^2 = \left(\frac{25}{3}\right)^2 + \left(\frac{25}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot \frac{25}{3} \cdot \cos(\angle ABC)$

$100 = 2 \cdot \frac{625}{9} - 2 \cdot \frac{625}{9} \cdot \cos(\angle ABC)$

$100 = \frac{1250}{9} \cdot (1 - \cos(\angle ABC))$

$1 - \cos(\angle ABC) = \frac{100 \cdot 9}{1250} = \frac{900}{1250} = \frac{18}{25}$

$\cos(\angle ABC) = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$

Длина отрезка $BH$ должна быть положительной величиной. Так как по условию угол $B$ тупой, его косинус должен быть отрицательным. Полученное в результате вычислений значение $\cos(\angle ABC) = \frac{7}{25}$ положительно, что указывает на противоречие в условии задачи. В таких случаях для нахождения длины отрезка используется модуль вычисленного значения:

$BH = BC \cdot |-\cos(\angle ABC)| = BC \cdot |\cos(\angle ABC)| = \frac{25}{3} \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{3}$

3. Нахождение длины AH

Теперь, зная длины $AB$ и $BH$, мы можем найти $AH$:

$AH = AB + BH = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} = \frac{25 + 7}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

15. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, $AB = BC$, $AC = 10$, $sinC = 0,6$. Найдите высоту $CH$.

По условию, $CH$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. Это означает, что отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $AB$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $AHC$, в котором угол $\angle AHC$ является прямым ($\angle AHC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $AHC$ сторона $AC$, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, синус угла $\angle HAC$ (который является углом $\angle A$ исходного треугольника $ABC$) равен отношению противолежащего катета $CH$ к гипотенузе $AC$:

$sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$

Из этой формулы можно выразить длину высоты $CH$:

$CH = AC \cdot sin(\angle A)$

В треугольнике $ABC$ по условию стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона $AC$, следовательно, углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны.

Раз $\angle A = \angle C$, то и их синусы равны: $sin(\angle A) = sin(\angle C)$.

Из условия задачи нам известны длина гипотенузы $AC$ и значение $sin(\angle C)$:

$AC = 10$

$sin(\angle C) = 0,6$

Так как $sin(\angle A) = sin(\angle C)$, то $sin(\angle A) = 0,6$. Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для вычисления $CH$:

$CH = 10 \cdot 0,6 = 6$

Условие о том, что угол $B$ — тупой, определяет положение точки $H$ на прямой $AB$ (она будет лежать на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$), но не влияет на данный способ вычисления высоты $CH$.

Ответ: 6

16. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, $AB = BC$, $tgC = 0,75$, $CH$ — высота, $AH = 8$. Найдите $CH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию задачи дан тангенс угла $C$: $\tg C = 0,75$. Так как $\angle BAC = \angle BCA = C$, то и тангенс угла $BAC$ также равен $0,75$: $\tg(\angle BAC) = 0,75$.

Высота $CH$ проведена из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. По определению высоты, отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $AB$. Это означает, что треугольник $ACH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle CHA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ тангенс острого угла $\angle CAH$ (который совпадает с углом $\angle BAC$ исходного треугольника) определяется как отношение длины противолежащего катета $CH$ к длине прилежащего катета $AH$:

$\tg(\angle CAH) = \frac{CH}{AH}$

Нам известны значения $\tg(\angle CAH) = \tg(\angle BAC) = 0,75$ и $AH = 8$. Подставим их в формулу:

$0,75 = \frac{CH}{8}$

Отсюда находим длину $CH$:

$CH = 8 \cdot 0,75 = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$

Условие о том, что угол $B$ — тупой, является важным для понимания геометрии задачи. Оно гарантирует, что углы $A$ и $C$ острые (так как $2\angle C + \angle B = 180^\circ$, из $\angle B > 90^\circ$ следует, что $\angle C < 45^\circ$), что соответствует положительному значению тангенса. Также это определяет, что основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$.

Ответ: 6

17. Найдите высоту равностороннего треугольника, стороны которого равны 1.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Высота, проведенная к основанию, делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его гипотенуза будет равна стороне исходного равностороннего треугольника ($a=1$). Один из катетов будет равен половине основания, так как в равностороннем треугольнике высота является также и медианой. Длина этого катета равна $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$. Второй катет является искомой высотой $h$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2$.

Подставим известные значения и найдем $h$:

$1^2 = (\frac{1}{2})^2 + h^2$

$1 = \frac{1}{4} + h^2$

$h^2 = 1 - \frac{1}{4}$

$h^2 = \frac{3}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

18. Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого равна 3.

Пусть $a$ — искомая сторона равностороннего треугольника, а $h$ — его высота. По условию задачи дано, что $h = 3$.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота делит равносторонний треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его катетами будут высота $h$ и половина стороны равностороннего треугольника $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — сторона $a$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим в это уравнение известное значение высоты $h=3$:
$a^2 = 3^2 + \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 9 + \frac{a^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $a$:
$a^2 - \frac{a^2}{4} = 9$
$\frac{4a^2 - a^2}{4} = 9$
$\frac{3a^2}{4} = 9$
$3a^2 = 36$
$a^2 = \frac{36}{3}$
$a^2 = 12$

Так как длина стороны является положительной величиной, извлечем из результата квадратный корень:
$a = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

19. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10$, $AB = 12$. Найдите высоту $CH$.

20. В

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = 10$, $BC = 10$ и $AB = 12$. Так как две стороны треугольника равны ($AC = BC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Высота $CH$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Это означает, что точка $H$ делит основание $AB$ на два равных отрезка: $AH$ и $HB$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то угол $CHA$ является прямым ($\angle CHA = 90^\circ$), и, следовательно, треугольник $ACH$ — прямоугольный. В этом треугольнике:

• $AC = 10$ — гипотенуза
• $AH = 6$ — катет
• $CH$ — неизвестный катет (высота)

Для нахождения длины катета $CH$ воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $AH^2 + CH^2 = AC^2$.

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $CH$:

$6^2 + CH^2 = 10^2$

$36 + CH^2 = 100$

$CH^2 = 100 - 36$

$CH^2 = 64$

$CH = \sqrt{64}$

$CH = 8$

Ответ: 8.

20. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10$, $AB = 12$. Найдите высоту $AH$.

Для нахождения высоты $AH$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника можно найти, зная его сторону и высоту, проведенную к этой стороне. Мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ одним способом, а затем, используя это значение, найти неизвестную высоту $AH$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Проведем высоту $CM$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC = BC$), высота $CM$ также является медианой. Это означает, что она делит основание $AB$ на два равных отрезка:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Гипотенуза $AC = 10$, катет $AM = 6$. По теореме Пифагора найдем длину катета $CM$:
$AC^2 = AM^2 + CM^2$
$CM^2 = AC^2 - AM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$CM = \sqrt{64} = 8$.
Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.

2. Найдем высоту $AH$.
Площадь того же треугольника $ABC$ можно выразить через основание $BC$ и высоту $AH$, проведенную к этому основанию:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Мы уже знаем, что $S_{ABC} = 48$ и по условию $BC = 10$. Подставим эти значения в формулу:
$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH$
$48 = 5 \cdot AH$.
Отсюда находим искомую высоту $AH$:
$AH = \frac{48}{5} = 9.6$.

Ответ: $9.6$.

21. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) $AC = 3$, $AB = 7$,

Найдите высоту $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов, а также как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.

1. Нахождение второго катета.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Подставим известные значения $AC = 3$ и $AB = 7$:
$3^2 + BC^2 = 7^2$
$9 + BC^2 = 49$
$BC^2 = 49 - 9 = 40$
$BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$

2. Вычисление высоты через площадь.
Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами:
С одной стороны, $S = \frac{1}{2} \times AC \times BC$.
С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \times AB \times CD$, где $CD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.
Приравняем эти два выражения:
$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD$
$AC \times BC = AB \times CD$
Теперь подставим известные и найденные значения:
$3 \times 2\sqrt{10} = 7 \times CD$
$6\sqrt{10} = 7 \times CD$
Отсюда выразим высоту $CD$:
$CD = \frac{6\sqrt{10}}{7}$

Ответ: $\frac{6\sqrt{10}}{7}$.

22. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ) AC = 3, BC = 6,$ $CD -$ высота. Найдите $AD$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, используя известные длины катетов $AC = 3$ и $BC = 6$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Так как $CD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, то отрезок $AD$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$.
Следовательно, верна формула:
$AC^2 = AD \cdot AB$

Мы можем выразить $AD$ из этой формулы и подставить известные значения $AC$ и $AB$:
$AD = \frac{AC^2}{AB}$
$AD = \frac{3^2}{3\sqrt{5}} = \frac{9}{3\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:
$AD = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

23. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ $AC = 3$, $BC = 6$, $CD$ — высота. Найдите $BD$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

1. Найдём длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=6$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

2. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Высота $CD$, проведённая к гипотенузе, делит её на два отрезка: $AD$ и $BD$. Отрезок $BD$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.
Следовательно, справедливо соотношение:
$BC^2 = AB \cdot BD$

3. Подставим известные значения в формулу и найдём $BD$:
$6^2 = 3\sqrt{5} \cdot BD$
$36 = 3\sqrt{5} \cdot BD$
Выразим $BD$:
$BD = \frac{36}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$

4. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:
$BD = \frac{12 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{12\sqrt{5}}{5}$

24. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ) AC = 6, BC = 8$.

Найдите медиану $CD$.

В задаче дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C ($\angle C = 90^\circ$). Известны длины катетов: $AC = 6$ и $BC = 8$. Требуется найти длину медианы CD, проведенной из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.

Для решения задачи воспользуемся свойством медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Это свойство гласит, что длина такой медианы равна половине длины гипотенузы. То есть, $CD = \frac{1}{2}AB$.

Первым шагом найдем длину гипотенузы AB. Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим в формулу известные значения:

$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Чтобы найти длину AB, извлечем квадратный корень из 100:

$AB = \sqrt{100} = 10$

Теперь, зная, что гипотенуза AB равна 10, можем вычислить длину медианы CD:

$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

Таким образом, длина медианы CD равна 5.

Ответ: 5

1. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

1. Сначала найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S_{прям}$) вычисляется как произведение его сторон.

Стороны прямоугольника равны 4 и 9. Вычислим его площадь:

$S_{прям} = 4 \cdot 9 = 36$

По условию задачи, площадь квадрата ($S_{кв}$) равна площади прямоугольника, значит:

$S_{кв} = S_{прям} = 36$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ - это сторона квадрата. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади.

$a = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{36} = 6$

Следовательно, сторона квадрата равна 6.

Ответ: 6

2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 4.

Для решения этой задачи можно использовать теорему Пифагора или формулу площади квадрата через его диагональ.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ равна $d$. По условию, $d = 4$.

Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата ($a$) являются катетами этих треугольников, а диагональ ($d$) — их общей гипотенузой.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$. Из предыдущего уравнения мы можем выразить площадь через диагональ:

$S = a^2 = \frac{d^2}{2}$

Теперь подставим в эту формулу значение диагонали $d=4$:

$S = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Следовательно, площадь квадрата составляет 8 квадратных единиц.

Ответ: 8

3. Найдите периметр квадрата, площадь которого равна 25.

3. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Из условия задачи известно, что $S = 25$. Чтобы найти длину стороны квадрата, необходимо извлечь квадратный корень из значения площади:
$a = \sqrt{S} = \sqrt{25} = 5$.
Так как длина стороны является положительной величиной, мы берем арифметический корень. Следовательно, длина стороны квадрата равна 5.
Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон, который вычисляется по формуле $P = 4a$. Подставим найденное значение стороны в эту формулу:
$P = 4 \times 5 = 20$.
Ответ: 20

4. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Площадь квадрата ($S$) можно вычислить, зная его диагональ ($d$), по формуле: $S = \frac{d^2}{2}$.

1. Найдем площадь первого квадрата, диагональ которого $d_1 = 10$.

$S_1 = \frac{d_1^2}{2} = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$

2. Найдем площадь второго квадрата, диагональ которого $d_2 = 6$.

$S_2 = \frac{d_2^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

3. По условию задачи, площадь третьего квадрата ($S_3$) равна разности площадей данных квадратов.

$S_3 = S_1 - S_2 = 50 - 18 = 32$

4. Теперь найдем диагональ третьего квадрата ($d_3$), зная его площадь $S_3 = 32$. Выразим диагональ из формулы площади: $d = \sqrt{2S}$.

$d_3 = \sqrt{2 \cdot S_3} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

данных квадратов.

5. Найдите площадь прямоугольника, сторона которого равна 5, а диагональ равна 13.

Обозначим стороны прямоугольника как 𝑎 и 𝑏, а его диагональ как 𝑑. По условию, одна из сторон равна 5, а диагональ равна 13. Пусть 𝑎 = 5 и 𝑑 = 13.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину второй стороны 𝑏:

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

Выразим $b^2$:

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$

Итак, вторая сторона прямоугольника равна 12.

Теперь найдем площадь прямоугольника (S), которая равна произведению его сторон:

$S = a \times b$

$S = 5 \times 12 = 60$

Ответ: 60

6. Площадь прямоугольника равна 24. Найдите его большую сторону, если она на 2 больше меньшей стороны.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$.

Согласно условию, большая сторона на 2 больше меньшей. Следовательно, длина большей стороны будет $x + 2$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию, площадь равна 24. Мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 2) = 24$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x = 24$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

1. С помощью дискриминанта:

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-24$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Корни уравнения находятся по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

2. С помощью теоремы Виета:

Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=2$, $q=-24$. Ищем два числа, произведение которых равно -24, а сумма равна -2. Эти числа — 4 и -6.

$4 \cdot (-6) = -24$

$4 + (-6) = -2$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.

Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x = -6$ нам не подходит.

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 4.

Большая сторона равна $x + 2 = 4 + 2 = 6$.

Проверим: площадь $S = 4 \cdot 6 = 24$. Условие выполняется.

Ответ: 6