Номер 20, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10$, $AB = 12$. Найдите высоту $AH$.

Для нахождения высоты $AH$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника можно найти, зная его сторону и высоту, проведенную к этой стороне. Мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ одним способом, а затем, используя это значение, найти неизвестную высоту $AH$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Проведем высоту $CM$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC = BC$), высота $CM$ также является медианой. Это означает, что она делит основание $AB$ на два равных отрезка:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Гипотенуза $AC = 10$, катет $AM = 6$. По теореме Пифагора найдем длину катета $CM$:
$AC^2 = AM^2 + CM^2$
$CM^2 = AC^2 - AM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$CM = \sqrt{64} = 8$.
Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.

2. Найдем высоту $AH$.
Площадь того же треугольника $ABC$ можно выразить через основание $BC$ и высоту $AH$, проведенную к этому основанию:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Мы уже знаем, что $S_{ABC} = 48$ и по условию $BC = 10$. Подставим эти значения в формулу:
$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH$
$48 = 5 \cdot AH$.
Отсюда находим искомую высоту $AH$:
$AH = \frac{48}{5} = 9.6$.

Ответ: $9.6$.