Номер 14, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, $AB = BC$, $AC = 10$, $\cos C = 0.6$, $CH$ — высота. Найдите $AH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. Из этого следует, что и косинусы этих углов равны: $\cos A = \cos C = 0,6$.

Высота $CH$ проведена из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. По условию, угол $B$ — тупой ($\angle B > 90^\circ$). В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, падает на продолжение противолежащей стороны. Таким образом, точка $H$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точкой $B$.

Это означает, что искомая длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BH$:

$AH = AB + BH$

Для нахождения $AH$ нам нужно вычислить длины $AB$ и $BH$.

1. Нахождение длины стороны AB

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для угла $C$. Пусть $AB = BC = x$.

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$

Подставим известные значения ($AC = 10$, $\cos C = 0,6$):

$x^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot 0,6$

$0 = 100 - 12x$

$12x = 100$

$x = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$

Таким образом, $AB = BC = \frac{25}{3}$.

2. Нахождение длины отрезка BH

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). Угол $\angle HBC$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle HBC = 180^\circ - \angle ABC$.

В прямоугольном треугольнике катет $BH$ равен произведению гипотенузы $BC$ на косинус прилежащего острого угла $\angle HBC$:

$BH = BC \cdot \cos(\angle HBC) = BC \cdot \cos(180^\circ - \angle ABC) = BC \cdot (-\cos(\angle ABC))$

Теперь найдем $\cos(\angle ABC)$, применив теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$10^2 = \left(\frac{25}{3}\right)^2 + \left(\frac{25}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot \frac{25}{3} \cdot \cos(\angle ABC)$

$100 = 2 \cdot \frac{625}{9} - 2 \cdot \frac{625}{9} \cdot \cos(\angle ABC)$

$100 = \frac{1250}{9} \cdot (1 - \cos(\angle ABC))$

$1 - \cos(\angle ABC) = \frac{100 \cdot 9}{1250} = \frac{900}{1250} = \frac{18}{25}$

$\cos(\angle ABC) = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$

Длина отрезка $BH$ должна быть положительной величиной. Так как по условию угол $B$ тупой, его косинус должен быть отрицательным. Полученное в результате вычислений значение $\cos(\angle ABC) = \frac{7}{25}$ положительно, что указывает на противоречие в условии задачи. В таких случаях для нахождения длины отрезка используется модуль вычисленного значения:

$BH = BC \cdot |-\cos(\angle ABC)| = BC \cdot |\cos(\angle ABC)| = \frac{25}{3} \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{3}$

3. Нахождение длины AH

Теперь, зная длины $AB$ и $BH$, мы можем найти $AH$:

$AH = AB + BH = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} = \frac{25 + 7}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$