Номер 16, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, $AB = BC$, $tgC = 0,75$, $CH$ — высота, $AH = 8$. Найдите $CH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию задачи дан тангенс угла $C$: $\tg C = 0,75$. Так как $\angle BAC = \angle BCA = C$, то и тангенс угла $BAC$ также равен $0,75$: $\tg(\angle BAC) = 0,75$.

Высота $CH$ проведена из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. По определению высоты, отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $AB$. Это означает, что треугольник $ACH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle CHA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ тангенс острого угла $\angle CAH$ (который совпадает с углом $\angle BAC$ исходного треугольника) определяется как отношение длины противолежащего катета $CH$ к длине прилежащего катета $AH$:

$\tg(\angle CAH) = \frac{CH}{AH}$

Нам известны значения $\tg(\angle CAH) = \tg(\angle BAC) = 0,75$ и $AH = 8$. Подставим их в формулу:

$0,75 = \frac{CH}{8}$

Отсюда находим длину $CH$:

$CH = 8 \cdot 0,75 = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$

Условие о том, что угол $B$ — тупой, является важным для понимания геометрии задачи. Оно гарантирует, что углы $A$ и $C$ острые (так как $2\angle C + \angle B = 180^\circ$, из $\angle B > 90^\circ$ следует, что $\angle C < 45^\circ$), что соответствует положительному значению тангенса. Также это определяет, что основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$.

Ответ: 6