Номер 6, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Площадь прямоугольника равна 24. Найдите его большую сторону, если она на 2 больше меньшей стороны.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$.

Согласно условию, большая сторона на 2 больше меньшей. Следовательно, длина большей стороны будет $x + 2$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию, площадь равна 24. Мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 2) = 24$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x = 24$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

1. С помощью дискриминанта:

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-24$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Корни уравнения находятся по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

2. С помощью теоремы Виета:

Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=2$, $q=-24$. Ищем два числа, произведение которых равно -24, а сумма равна -2. Эти числа — 4 и -6.

$4 \cdot (-6) = -24$

$4 + (-6) = -2$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.

Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x = -6$ нам не подходит.

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 4.

Большая сторона равна $x + 2 = 4 + 2 = 6$.

Проверим: площадь $S = 4 \cdot 6 = 24$. Условие выполняется.

Ответ: 6