Номер 39, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Площадь треугольника $ABC$ равна 12. $DE$ — средняя линия.

Найдите площадь трапеции $ABDE$.

Пусть дан треугольник $ABC$, площадь которого $S_{ABC} = 12$. $DE$ — его средняя линия. По определению, средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Допустим, точка $D$ — середина стороны $AC$, а точка $E$ — середина стороны $BC$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Таким образом, $DE \parallel AB$. Это означает, что четырехугольник $ABDE$ является трапецией.

Средняя линия $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $CDE$. Рассмотрим треугольники $CDE$ и $CAB$.
1. Угол $C$ у них общий.
2. Углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$.
Следовательно, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$ (по двум углам), $\triangle CDE \sim \triangle CAB$.

Найдем коэффициент подобия $k$. Он равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB}$.
Поскольку $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2}CA$ и $CE = \frac{1}{2}CB$.
Значит, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Зная площадь треугольника $ABC$, можем найти площадь треугольника $CDE$: $S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$.

Площадь трапеции $ABDE$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $CDE$: $S_{ABDE} = S_{ABC} - S_{CDE}$.

Вычислим площадь трапеции: $S_{ABDE} = 12 - 3 = 9$.

Ответ: 9.