Номер 6, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4 см, отсекает тре-угольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 4$ см.

Через конец меньшего основания, например, через точку $B$, проведем прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.

В результате этого построения трапеция $ABCD$ разделяется на треугольник $ABE$ и четырехугольник $BCDE$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDE$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel ED$. По построению, мы провели $BE \parallel CD$. Поскольку у четырехугольника $BCDE$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что:

$CD = BE$

$ED = BC = 4$ см

Периметр трапеции $ABCD$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

Длину большего основания $AD$ можно выразить как сумму длин отрезков $AE$ и $ED$:

$AD = AE + ED$

Подставим это выражение и равенство $CD = BE$ в формулу периметра трапеции:

$P_{ABCD} = AB + BC + BE + (AE + ED)$

Теперь заменим $ED$ на $BC$:

$P_{ABCD} = AB + BC + BE + AE + BC$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить периметр треугольника $ABE$:

$P_{ABCD} = (AB + AE + BE) + BC + BC$

Выражение в скобках $(AB + AE + BE)$ является периметром треугольника $ABE$. По условию задачи, $P_{ABE} = 15$ см.

Таким образом, формула для периметра трапеции принимает вид:

$P_{ABCD} = P_{ABE} + 2 \cdot BC$

Подставим известные значения:

$P_{ABCD} = 15 + 2 \cdot 4 = 15 + 8 = 23$ см.

Ответ: 23 см.