Номер 7, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 27 см, острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Согласно условию, меньшее основание $BC = 12$ см, большее основание $AD = 27$ см, а острые углы при большем основании равны $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны, то есть $AB = CD$. Следовательно, формула для периметра может быть записана как $P = AD + BC + 2 \cdot AB$. Для вычисления периметра необходимо найти длину боковой стороны $AB$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В равнобедренной трапеции длина отрезка, который высота отсекает от большего основания (отрезок $AH$), равна полуразности оснований.

Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 12}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем нам известен катет $AH = 7,5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60^\circ$. Боковая сторона трапеции $AB$ является гипотенузой этого треугольника.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

Из этой формулы выразим длину гипотенузы $AB$: $AB = \frac{AH}{\cos(\angle A)}$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $AB = \frac{7,5}{\frac{1}{2}} = 7,5 \cdot 2 = 15$ см.

Итак, длина боковой стороны трапеции составляет 15 см. Теперь мы можем найти периметр. $P = AD + BC + 2 \cdot AB = 27 + 12 + 2 \cdot 15 = 39 + 30 = 69$ см.

Ответ: 69 см.