Номер 16, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Докажите, что $\lVert \vert \vec{a} \vert - \vert \vec{b} \vert \rVert \leq \vert \vec{a} - \vec{b} \vert$. При каком расположении векторов достигается равенство?

Докажите, что $|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,| \le |\vec{a} - \vec{b}|$

Данное неравенство известно как обратное неравенство треугольника. Докажем его, используя свойство скалярного произведения векторов. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:

$(|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,|)^2 \le |\vec{a} - \vec{b}|^2$

Преобразуем левую часть:

$(|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,|)^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь преобразуем правую часть. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$|\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$-2|\vec{a}||\vec{b}| \le -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$|\vec{a}||\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, получаем:

$|\vec{a}||\vec{b}| \ge |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Если один из векторов нулевой, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно. Если оба вектора ненулевые, можно разделить обе части на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$1 \ge \cos\theta$

Это неравенство справедливо для любого угла $\theta$, поскольку максимальное значение функции косинуса равно 1. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано путем возведения обеих его частей в квадрат и использования свойств скалярного произведения.

При каком расположении векторов достигается равенство?

Равенство в исходном неравенстве, $|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,| = |\vec{a} - \vec{b}|$, достигается в том и только в том случае, когда все неравенства в ходе доказательства обращаются в равенства.

Ключевым шагом было неравенство $|\vec{a}||\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}$. Соответственно, равенство будет выполняться при:

$|\vec{a}||\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Подставим определение скалярного произведения:

$|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — ненулевые векторы, то можно сократить на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получив:

$\cos\theta = 1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = 0$. Векторы с углом 0 градусов между ними являются сонаправленными (коллинеарны и направлены в одну сторону).

Если же один из векторов (или оба) является нулевым, равенство также выполняется. Например, если $\vec{a} = \vec{0}$, то исходное выражение становится $|0 - |\vec{b}|| = |\vec{0} - \vec{b}|$, что равносильно $|\vec{b}| = |-\vec{b}|$, или $|\vec{b}| = |\vec{b}|$. Это тождество. Случай нулевого вектора можно рассматривать как частный случай сонаправленности.

Таким образом, равенство достигается, когда векторы сонаправлены.

Ответ: Равенство достигается, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону), включая случай, когда один или оба вектора являются нулевыми.