Номер 2, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Для параллелограмма ABCD (рис. 4.4) выразите вектор:

а) $\overline{AC}$;

б) $\overline{BD}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.

Рис. 4.4

а) Чтобы выразить вектор $\overline{AC}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$, можно воспользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов. Согласно этому правилу, вектор диагонали параллелограмма, исходящей из общей вершины двух векторов-сторон, равен их сумме. В параллелограмме $ABCD$ векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ исходят из общей вершины A, а $\overline{AC}$ — это диагональ, исходящая из той же вершины. Следовательно, вектор $\overline{AC}$ является суммой векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.
Также можно применить правило треугольника для треугольника $ABC$. По этому правилу: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор $\overline{BC}$ равен вектору $\overline{AD}$. Заменив $\overline{BC}$ на $\overline{AD}$, получаем: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.
Ответ: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.

б) Чтобы выразить вектор $\overline{BD}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$, воспользуемся правилом вычитания векторов или правилом треугольника. Рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу треугольника, чтобы попасть из точки B в точку D, можно двигаться по векторам $\overline{BA}$ и $\overline{AD}$. Таким образом, $\overline{BD} = \overline{BA} + \overline{AD}$. Вектор $\overline{BA}$ является противоположным вектору $\overline{AB}$, то есть $\overline{BA} = -\overline{AB}$. Подставим это выражение в предыдущее равенство: $\overline{BD} = -\overline{AB} + \overline{AD}$. Для удобства поменяем слагаемые местами: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$. Это соответствует правилу вычитания векторов: разность векторов $\overline{AD}$ и $\overline{AB}$ — это вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого вектора ($\overline{AB}$) к концу уменьшаемого ($\overline{AD}$).
Ответ: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$.