Страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какое соответствие между точками плоскости называется взаимно однозначным?

2. Что называется преобразованием плоскости?

3. Какое преобразование плоскости называется движением?

4. Приведите примеры движений.

5. Что называется композицией преобразований плоскости?

6. Какие фигуры называются равными?

7. В каком случае равны два треугольника?

8. Сколько имеется движений, переводящих правильный треугольник в себя?

1. Какое соответствие между точками плоскости называется взаимно однозначным?
Взаимно однозначным соответствием (или биекцией) между точками плоскости называется такое правило (отображение), которое каждой точке плоскости сопоставляет ровно одну точку этой же плоскости, и при этом выполняются два условия:
1. Разным точкам соответствуют разные точки (инъективность). Если точки $A$ и $B$ различны ($A \neq B$), то их образы $A'$ и $B'$ также различны ($A' \neq B'$).
2. Каждая точка плоскости является образом какой-либо точки (сюръективность). Для любой точки $C'$ на плоскости существует такая точка $C$, что $C'$ является ее образом.
Иными словами, это полное сопоставление точек плоскости самой себе без пропусков и повторений.
Ответ: Взаимно однозначным называется такое соответствие, при котором каждой точке плоскости соответствует одна и только одна точка этой же плоскости, и каждая точка плоскости оказывается образом одной и только одной точки.

2. Что называется преобразованием плоскости?
Преобразованием плоскости называется любое взаимно однозначное соответствие между точками плоскости. Таким образом, преобразование плоскости — это правило, по которому каждая точка плоскости $M$ переходит в некоторую точку $M'$ этой же плоскости, причем каждая точка плоскости является образом ровно одной исходной точки.
Ответ: Преобразованием плоскости называется взаимно однозначное соответствие точек плоскости самой себе.

3. Какое преобразование плоскости называется движением?
Движением (или изометрическим преобразованием) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ плоскости и их образов $A'$ и $B'$ при данном преобразовании, расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$. Математически это записывается как $AB = A'B'$. Движение не изменяет форму и размеры фигур, а только их положение на плоскости.
Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками.

4. Приведите примеры движений.
Основными видами движений на плоскости являются:
- Осевая симметрия: отражение относительно некоторой прямой, называемой осью симметрии.
- Центральная симметрия: поворот на $180^\circ$ вокруг некоторой точки, называемой центром симметрии.
- Параллельный перенос: сдвиг всех точек плоскости в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается вектором переноса.
- Поворот: вращение всех точек плоскости на заданный угол вокруг некоторой точки, называемой центром поворота.
Также примером является тождественное преобразование, когда каждая точка отображается сама на себя (является частным случаем поворота на $0^\circ$ или параллельного переноса на нулевой вектор).
Ответ: Примерами движений являются осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос и поворот.

5. Что называется композицией преобразований плоскости?
Композицией (или последовательным выполнением) двух преобразований $F_1$ и $F_2$ называется новое преобразование $F$, которое получается в результате применения сначала преобразования $F_1$, а затем к полученному результату — преобразования $F_2$. Если точка $M$ переходит в точку $M'$ при преобразовании $F_1$, а точка $M'$ переходит в точку $M''$ при преобразовании $F_2$, то композиция этих преобразований переводит точку $M$ в точку $M''$. Композиция обозначается как $F_2 \circ F_1$.
Ответ: Композиция преобразований — это их последовательное выполнение, когда результат одного преобразования становится исходными данными для следующего.

6. Какие фигуры называются равными?
Две геометрические фигуры (например, $F_1$ и $F_2$) называются равными (или конгруэнтными), если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. Это означает, что фигуру $F_1$ можно полностью совместить с фигурой $F_2$ с помощью одного или нескольких движений (параллельного переноса, поворота, симметрии), не изменяя ее форму и размеры.
Ответ: Равными называются фигуры, которые можно совместить друг с другом при помощи движения.

7. В каком случае равны два треугольника?
Два треугольника называются равными, если их можно совместить движением. Для определения равенства треугольников без непосредственного нахождения движения используют три основных признака равенства:
1. По двум сторонам и углу между ними (I признак): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
3. По трем сторонам (III признак): если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.
При выполнении любого из этих условий треугольники считаются равными.
Ответ: Два треугольника равны, если выполняется один из трех признаков равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам или по трем сторонам.

8. Сколько имеется движений, переводящих правильный треугольник в себя?
Движение, которое переводит фигуру в себя, называется симметрией этой фигуры. Для правильного (равностороннего) треугольника существует 6 таких движений (симметрий):
- Одно тождественное преобразование: треугольник остается на месте.
- Два поворота вокруг центра треугольника (точки пересечения медиан) на углы $120^\circ$ и $240^\circ$. Поворот на $360^\circ$ эквивалентен тождественному преобразованию.
- Три осевые симметрии (отражения) относительно осей, которые являются высотами (а также медианами и биссектрисами) треугольника.
Таким образом, общее количество движений, переводящих правильный треугольник в себя, равно $1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6 движений.

1. Какие из фигур, изображенных на рисунке 12.6, равны?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 12.6

Равными фигурами называются те, которые можно совместить наложением. Это означает, что одна фигура может быть получена из другой с помощью движения (параллельного переноса, поворота или их комбинации). Проанализируем фигуры, представленные на рисунке.

Первую группу равных фигур составляют фигуры а), б) и д). Фигура а) имеет форму, похожую на букву «П». Фигуру б) можно получить из фигуры а), совершив поворот на 180 градусов. Фигуру д) можно получить из фигуры а) путем поворота на 90 градусов против часовой стрелки. Поскольку все три фигуры можно совместить друг с другом с помощью поворота, они являются равными.

Вторую группу равных фигур образуют е) и ж). Фигура ж) имеет форму буквы «Н». Фигуру е) можно рассматривать как ту же букву «Н», но повернутую на 90 градусов. Следовательно, если повернуть фигуру е) на 90 градусов, она полностью совпадет с фигурой ж), что доказывает их равенство.

Фигуры в), г) и з) имеют уникальную форму и количество составляющих их отрезков. Они не могут быть совмещены ни с одной из других фигур на рисунке, а также не равны между собой.

Ответ: Равными являются фигуры а), б), д). Также равными между собой являются фигуры е), ж).

2. Будут ли равны два четырехугольника, если у них все стороны соответственно равны?

Нет, два четырехугольника не обязательно будут равны, даже если все их стороны соответственно равны. В отличие от треугольников, для которых существует признак равенства по трем сторонам (треугольник — жесткая фигура), четырехугольник является нежесткой фигурой. Это означает, что его форму, а именно углы, можно изменять, сохраняя при этом длины сторон.

Чтобы это доказать, рассмотрим контрпример: квадрат и ромб.

1. Возьмем квадрат со стороной $a$. Все его стороны равны $a$, и все внутренние углы равны $90^\circ$.

2. Возьмем ромб, у которого все стороны также равны $a$, но углы не прямые. Например, два противолежащих угла равны $60^\circ$, а два других — $120^\circ$.

У квадрата и ромба в этом примере все соответствующие стороны равны, но их углы различны. Равные фигуры должны совпадать при наложении, а это невозможно, если у них разные углы. Следовательно, эти два четырехугольника не равны.

Таким образом, для равенства двух четырехугольников недостаточно только равенства их соответствующих сторон. Необходимо также равенство соответствующих углов или других элементов, например, одной из диагоналей.

Ответ: Нет, не обязательно.

соответствие равна.

3. Может ли движение переводить разные прямые в одну прямую?

Нет, движение не может переводить две разные прямые в одну и ту же прямую. Докажем это методом от противного.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Важнейшим свойством любого движения является то, что оно взаимно однозначно. Это означает, что каждая точка плоскости имеет ровно один образ, и у каждого образа есть ровно один прообраз. Следовательно, для любого движения $f$ существует обратное движение $f^{-1}$, которое отменяет действие $f$.

Еще одно свойство движения: оно переводит любую прямую в прямую.

Предположим, что существует движение $f$, которое переводит две различные прямые $a$ и $b$ (где $a \neq b$) в одну и ту же прямую $c$. Математически это можно записать так:

$f(a) = c$

$f(b) = c$

Поскольку для движения $f$ существует обратное движение $f^{-1}$, мы можем применить его к этим равенствам. Применим $f^{-1}$ к прямой $c$:

Так как $f(a) = c$, то $f^{-1}(f(a)) = f^{-1}(c)$. По определению обратного преобразования, $f^{-1}(f(a)) = a$. Следовательно, $a = f^{-1}(c)$.

Аналогично, так как $f(b) = c$, то $f^{-1}(f(b)) = f^{-1}(c)$, из чего следует, что $b = f^{-1}(c)$.

Таким образом, мы получили, что $a = f^{-1}(c)$ и $b = f^{-1}(c)$. Это означает, что $a = b$.

Полученное равенство ($a = b$) противоречит нашему первоначальному условию, что прямые $a$ и $b$ были различными ($a \neq b$). Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Нет, движение не может переводить разные прямые в одну прямую.

4. Может ли движение переводить две параллельные прямые в пересекающиеся прямые?

Движением (или изометрией) в геометрии называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Основными видами движения являются параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.

Ключевым свойством движения является то, что оно сохраняет основные геометрические отношения и свойства фигур. В частности, движение переводит прямые в прямые, отрезки в равные им отрезки, а углы в равные им углы. Одним из таких сохраняемых свойств является параллельность прямых.

Чтобы ответить на вопрос, докажем, что движение переводит параллельные прямые в параллельные прямые. Будем использовать метод доказательства от противного.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (что записывается как $a \parallel b$). Пусть $f$ — это некоторое движение (преобразование). При этом движении прямая $a$ переходит в прямую $a'$, а прямая $b$ — в прямую $b'$. Поскольку движение переводит прямые в прямые, $a'$ и $b'$ также являются прямыми.

Предположим, что образы прямых, $a'$ и $b'$, не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M'$. Это означает, что точка $M'$ принадлежит и прямой $a'$, и прямой $b'$.

Движение является взаимно-однозначным преобразованием, то есть для каждой точки-образа $M'$ существует единственная исходная точка (прообраз) $M$. Так как $M'$ лежит на прямой $a'$, ее прообраз $M$ должен лежать на прообразе прямой $a'$, то есть на прямой $a$. Аналогично, так как $M'$ лежит на прямой $b'$, ее прообраз $M$ должен лежать на прямой $b$.

Таким образом, мы получаем, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Однако это прямо противоречит нашему начальному условию, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны и не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что $a'$ и $b'$ пересекаются) было неверным. Следовательно, прямые $a'$ и $b'$ не могут пересекаться, а значит, они должны быть параллельны.

Вывод: любое движение сохраняет параллельность прямых и не может перевести параллельные прямые в пересекающиеся.

Ответ: Нет, не может. Движение является преобразованием, сохраняющим расстояния, и одним из его фундаментальных свойств является сохранение параллельности прямых. Две параллельные прямые после любого движения останутся параллельными.

5. Докажите, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Для доказательства воспользуемся определениями окружности и движения.

Определение окружности: Окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$ называется множество всех точек $M$ плоскости, расстояние от которых до точки $O$ равно $R$. То есть, для любой точки $M$ на окружности выполняется равенство $OM = R$.

Определение движения: Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ при данном движении, выполняется равенство $A'B' = AB$.

Пусть дана произвольная окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим произвольное движение $f$. Нам необходимо доказать, что образ окружности $\omega$ при движении $f$, который мы обозначим как $\omega'$, является окружностью с тем же радиусом $R$.

Доказательство проведем в два этапа.

Этап 1: Покажем, что образ любой точки исходной окружности лежит на некоторой новой окружности.

Пусть точка $O'$ является образом центра $O$ при движении $f$, то есть $O' = f(O)$.

Возьмем любую точку $M$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, ее расстояние до центра $O$ равно $R$: $OM = R$.

Пусть точка $M'$ является образом точки $M$ при движении $f$, то есть $M' = f(M)$.

Поскольку $f$ является движением, оно сохраняет расстояние между точками. Следовательно, расстояние между образами $O'$ и $M'$ равно расстоянию между их прообразами $O$ и $M$:

$O'M' = OM$

Так как мы знаем, что $OM = R$, то из этого следует, что $O'M' = R$.

Это означает, что любая точка $M'$, принадлежащая образу $\omega'$, находится на расстоянии $R$ от фиксированной точки $O'$. Следовательно, множество $\omega'$ является подмножеством окружности с центром в $O'$ и радиусом $R$.

Этап 2: Покажем, что любая точка новой окружности является образом некоторой точки исходной окружности.

Возьмем любую точку $P'$ на окружности с центром в $O'$ и радиусом $R$. Для нее выполняется условие $O'P' = R$.

Движение является взаимно-однозначным отображением плоскости на себя. Это означает, что для любой точки $P'$ на плоскости существует единственная точка $P$, образом которой она является ($P' = f(P)$). Рассмотрим эту точку $P$.

Так как движение $f$ сохраняет расстояние, то расстояние между прообразами $O$ и $P$ равно расстоянию между их образами $O'$ и $P'$:

$OP = O'P'$

Поскольку $O'P' = R$, то и $OP = R$. Это означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что образ окружности $\omega$ при движении $f$ в точности совпадает с множеством точек, образующих окружность с центром в $O'$ и радиусом $R$. Это и доказывает, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Ответ: Утверждение доказано.