Номер 5, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Докажите, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Для доказательства воспользуемся определениями окружности и движения.

Определение окружности: Окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$ называется множество всех точек $M$ плоскости, расстояние от которых до точки $O$ равно $R$. То есть, для любой точки $M$ на окружности выполняется равенство $OM = R$.

Определение движения: Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ при данном движении, выполняется равенство $A'B' = AB$.

Пусть дана произвольная окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим произвольное движение $f$. Нам необходимо доказать, что образ окружности $\omega$ при движении $f$, который мы обозначим как $\omega'$, является окружностью с тем же радиусом $R$.

Доказательство проведем в два этапа.

Этап 1: Покажем, что образ любой точки исходной окружности лежит на некоторой новой окружности.

Пусть точка $O'$ является образом центра $O$ при движении $f$, то есть $O' = f(O)$.

Возьмем любую точку $M$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, ее расстояние до центра $O$ равно $R$: $OM = R$.

Пусть точка $M'$ является образом точки $M$ при движении $f$, то есть $M' = f(M)$.

Поскольку $f$ является движением, оно сохраняет расстояние между точками. Следовательно, расстояние между образами $O'$ и $M'$ равно расстоянию между их прообразами $O$ и $M$:

$O'M' = OM$

Так как мы знаем, что $OM = R$, то из этого следует, что $O'M' = R$.

Это означает, что любая точка $M'$, принадлежащая образу $\omega'$, находится на расстоянии $R$ от фиксированной точки $O'$. Следовательно, множество $\omega'$ является подмножеством окружности с центром в $O'$ и радиусом $R$.

Этап 2: Покажем, что любая точка новой окружности является образом некоторой точки исходной окружности.

Возьмем любую точку $P'$ на окружности с центром в $O'$ и радиусом $R$. Для нее выполняется условие $O'P' = R$.

Движение является взаимно-однозначным отображением плоскости на себя. Это означает, что для любой точки $P'$ на плоскости существует единственная точка $P$, образом которой она является ($P' = f(P)$). Рассмотрим эту точку $P$.

Так как движение $f$ сохраняет расстояние, то расстояние между прообразами $O$ и $P$ равно расстоянию между их образами $O'$ и $P'$:

$OP = O'P'$

Поскольку $O'P' = R$, то и $OP = R$. Это означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что образ окружности $\omega$ при движении $f$ в точности совпадает с множеством точек, образующих окружность с центром в $O'$ и радиусом $R$. Это и доказывает, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Ответ: Утверждение доказано.