Номер 11, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Для двух данных равных углов (рис. 12.8) укажите движение, переводящее один в другой.

12. ...

Рис. 12.8

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина нижнего угла, точка A, находится в начале координат, т.е. имеет координаты $A(0, 0)$. Стороны углов лежат на линиях сетки, поэтому, приняв сторону клетки за единицу, мы можем определить координаты других точек.

Вершина верхнего угла, точка C, смещена относительно точки A на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх. Таким образом, ее координаты $C(3, 2)$.

Рассмотрим стороны углов как лучи, исходящие из их вершин.

Для угла с вершиной A:
- Один луч (назовем его $r_{A1}$) направлен вдоль положительной полуоси Ox. Его направляющий вектор $\vec{v_1} = (1, 0)$.
- Второй луч ($r_{A2}$) проходит через точку, смещенную от A на 3 клетки вправо и 2 клетки вниз. Его направляющий вектор $\vec{v_2} = (3, -2)$.

Для угла с вершиной C:
- Один луч ($r_{C1}$) направлен вдоль положительной полуоси Oy от точки C. Его направляющий вектор $\vec{u_1} = (0, 1)$.
- Второй луч ($r_{C2}$) проходит через точку, смещенную от C на 2 клетки влево и 3 клетки вверх. Его направляющий вектор $\vec{u_2} = (-2, 3)$.

Движение (изометрия) должно переводить вершину A в вершину C, а стороны угла A в стороны угла C. Проверим ориентацию углов. Ориентация пары векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ определяется знаком их псевдоскалярного произведения (детерминанта).
- Для угла A: пара векторов $(\vec{v_1}, \vec{v_2})$. Детерминант: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 3 \cdot 0 = -2$. Знак отрицательный, что соответствует вращению по часовой стрелке.
- Для угла C: пара векторов $(\vec{u_1}, \vec{u_2})$. Детерминант: $\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 = 2$. Знак положительный, что соответствует вращению против часовой стрелки.

Так как ориентации углов противоположны, движение, переводящее один угол в другой, является обратной изометрией, то есть осевой симметрией (отражением) или скользящей симметрией. Простая осевая симметрия не может перевести точку $A(0,0)$ в $C(3,2)$ и одновременно совместить стороны углов. Следовательно, искомое движение — это скользящая симметрия.

Скользящая симметрия — это композиция отражения относительно некоторой прямой (оси) и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси.

Ось скользящей симметрии проходит через середины отрезков, соединяющих соответствующие точки. Найдем пару соответствующих точек на сторонах углов. Пусть точка $P$ на луче $r_{A2}$ соответствует точке $P'$ на луче $r_{C2}$. Расстояние от вершины до точки должно сохраниться. Возьмем точку $P$ с координатами, равными вектору $\vec{v_2}$, то есть $P(3, -2)$. Расстояние $|AP| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$.Точка $P'$ на луче $r_{C2}$ должна находиться на таком же расстоянии от вершины C. Точки на этом луче имеют вид $C + t \cdot \vec{u_2} = (3, 2) + t(-2, 3)$ для $t \ge 0$. Расстояние $|CP'| = t \cdot |\vec{u_2}| = t \cdot \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = t\sqrt{13}$. Приравнивая расстояния, получаем $t=1$. Значит, точка $P'$ имеет координаты $(3 - 2, 2 + 3) = (1, 5)$.

Итак, у нас есть две пары соответствующих точек: $A(0, 0) \to C(3, 2)$ и $P(3, -2) \to P'(1, 5)$.
- Найдём середину отрезка AC: $M_{AC} = (\frac{0+3}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1.5, 1)$.
- Найдём середину отрезка PP': $M_{PP'} = (\frac{3+1}{2}, \frac{-2+5}{2}) = (2, 1.5)$.

Ось скользящей симметрии $l$ проходит через точки $M_{AC}$ и $M_{PP'}$. Найдем ее уравнение.
- Угловой коэффициент (наклон) оси: $k = \frac{1.5 - 1}{2 - 1.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
- Уравнение прямой: $y - y_1 = k(x - x_1) \implies y - 1 = 1(x - 1.5) \implies y = x - 0.5$.

Теперь найдем вектор переноса $\vec{s}$. Для этого отразим точку A относительно оси $l$ и найдем точку $A_r$. Вектор переноса будет равен вектору $\vec{A_r C}$.
- Точка $A_r(x_r, y_r)$ лежит на перпендикуляре к оси $l$, проходящем через A. Уравнение перпендикуляра: $y - 0 = -1(x - 0) \implies y = -x$.
- Найдем точку пересечения оси $l$ и перпендикуляра: $x - 0.5 = -x \implies 2x = 0.5 \implies x = 0.25$. Тогда $y = -0.25$. Эта точка $(0.25, -0.25)$ является серединой отрезка $AA_r$.
- Координаты $A_r$: $\frac{0+x_r}{2} = 0.25 \implies x_r = 0.5$; $\frac{0+y_r}{2} = -0.25 \implies y_r = -0.5$. Итак, $A_r(0.5, -0.5)$.
- Вектор переноса $\vec{s} = \vec{A_r C} = C - A_r = (3 - 0.5, 2 - (-0.5)) = (2.5, 2.5)$.

Вектор $\vec{s}=(2.5, 2.5)$ имеет наклон $\frac{2.5}{2.5} = 1$, что совпадает с наклоном оси $l$, как и должно быть.

Ответ: Искомое движение — это скользящая симметрия, которая является композицией отражения относительно прямой $y = x - 0.5$ и параллельного переноса на вектор $\vec{s} = (2.5, 2.5)$.