Номер 14, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что если у двух правильных $n$-угольников равны стороны, то эти $n$-угольники равны.

Пусть даны два правильных n-угольника, назовём их P₁ и P₂. По условию задачи, стороны этих n-угольников равны. Обозначим длину их стороны как a.

Два многоугольника считаются равными (конгруэнтными), если их можно совместить наложением. Для этого необходимо, чтобы у них были соответственно равны все стороны и все углы. Докажем, что для данных многоугольников это условие выполняется.

1. Сравнение сторон. По определению, правильный n-угольник является равносторонним, то есть все его n сторон равны между собой. Поскольку по условию задачи длина стороны каждого из многоугольников равна a, то все n сторон многоугольника P₁ равны a, и все n сторон многоугольника P₂ также равны a. Следовательно, все стороны одного многоугольника соответственно равны всем сторонам другого.

2. Сравнение углов. По определению, правильный n-угольник также является равноугольным, то есть все его n внутренних углов равны между собой. Величина внутреннего угла правильного n-угольника зависит только от количества его сторон n и вычисляется по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $ Так как оба многоугольника являются n-угольниками, все их внутренние углы равны одной и той же величине $\alpha$. Следовательно, все углы одного многоугольника соответственно равны всем углам другого.

Поскольку мы показали, что у данных правильных n-угольников соответственно равны все стороны и все углы, то по определению равенства многоугольников они равны.

Ответ: Утверждение доказано. Два правильных n-угольника однозначно определяются количеством сторон n и длиной стороны a. Так как у рассматриваемых многоугольников эти параметры одинаковы, то и сами многоугольники равны.