Задания, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случаи луча и прямой.

В этом задании требуется рассмотреть взаимное расположение луча и прямой с некоторой другой фигурой. В качестве такой фигуры, как правило, выступает окружность. Рассмотрим эти случаи подробно.

Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения луча и окружности на плоскости. Количество точек пересечения может быть 0, 1 или 2. Это число зависит от положения начальной точки луча относительно окружности и от его направления.

Пусть окружность задана своим центром $O$ и радиусом $R$. Луч выходит из начальной точки $A$ и имеет направляющий вектор $\vec{s}$. Прямую, содержащую данный луч, обозначим $l$. Расстояние от центра окружности $O$ до прямой $l$ обозначим как $d$.

Можно выделить следующие основные сценарии:

1. Прямая $l$ не пересекает окружность.
Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то есть $d > R$. В этом случае луч, являясь частью прямой $l$, также не пересекает окружность. Количество точек пересечения равно 0.

2. Прямая $l$ касается окружности.
Это происходит, когда $d = R$. Прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку $T$ — точку касания.
• Если точка $T$ принадлежит лучу (то есть, двигаясь из точки $A$ в направлении вектора $\vec{s}$, мы попадаем в точку $T$), то луч имеет ровно одну общую точку с окружностью.
• Если точка $T$ не принадлежит лучу, то у луча нет общих точек с окружностью. Количество точек пересечения — 0.

3. Прямая $l$ пересекает окружность в двух точках.
Это происходит, когда $d < R$. Прямая является секущей для окружности и пересекает ее в двух точках, назовем их $P_1$ и $P_2$. В этом случае решающее значение имеет положение начальной точки луча $A$ относительно окружности.
• Начальная точка $A$ находится вне окружности ($|OA| > R$).
- Если луч направлен в сторону окружности так, что пересекает хорду $P_1P_2$, то он будет иметь две общие точки с окружностью ($P_1$ и $P_2$).
- Если луч направлен от окружности, он не будет иметь с ней общих точек. Это происходит, когда вся хорда $P_1P_2$ лежит на той части прямой, которая не принадлежит лучу.
• Начальная точка $A$ находится на окружности ($|OA| = R$).
Точка $A$ уже является одной точкой пересечения. Так как прямая $l$ — секущая, существует вторая точка пересечения $P_2$. Если луч направлен внутрь окружности (в сторону точки $P_2$), то будет две точки пересечения ($A$ и $P_2$). Если луч направлен вовне, то точка пересечения будет только одна — сама точка $A$.
• Начальная точка $A$ находится внутри окружности ($|OA| < R$).
Луч, выходящий из точки внутри окружности, обязательно пересечет ее границу ровно один раз. Следовательно, в этом случае всегда одна точка пересечения.

Таким образом, взаимное расположение луча и окружности более разнообразно, чем у прямой.

Ответ: В зависимости от расположения начальной точки луча и его направления относительно окружности, луч может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения с окружностью.

Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности на плоскости. Количество точек пересечения может быть 0, 1 или 2.

Пусть окружность задана центром $O$ и радиусом $R$, а прямая обозначена как $l$. Ключевым параметром, определяющим количество точек пересечения, является расстояние $d$ от центра окружности $O$ до прямой $l$.

Можно выделить три возможных случая:

1. Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > R$).
В этом случае у прямой и окружности нет общих точек. Прямая целиком лежит вне окружности. Число точек пересечения равно 0.

2. Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = R$).
В этом случае прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой касания. Число точек пересечения равно 1.

3. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < R$).
В этом случае прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такая прямая называется секущей. Число точек пересечения равно 2.

Аналитически эти случаи можно исследовать, решив систему уравнений, состоящую из уравнения окружности $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$ и уравнения прямой $Ax + By + C = 0$. Подстановка одной переменной из уравнения прямой в уравнение окружности приводит к квадратному уравнению относительно другой переменной. Количество действительных корней этого уравнения (0, 1 или 2) соответствует количеству точек пересечения. Дискриминант этого квадратного уравнения напрямую связан с соотношением между $d$ и $R$.

Ответ: В зависимости от расстояния от центра окружности до прямой, прямая и окружность могут иметь 0 (если расстояние больше радиуса), 1 (если расстояние равно радиусу) или 2 (если расстояние меньше радиуса) точки пересечения.