Номер 3, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Изобразите треугольник, полученный гомотетией треугольника $ABC$ относительно центра $A$ с коэффициентом 2 (рис. 13.6).

a)

б)

Рис. 13.6

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — число, называемое коэффициентом гомотетии.

В данной задаче необходимо построить треугольники, полученные гомотетией исходных треугольников $ABC$ относительно центра в точке $A$ с коэффициентом $k=2$.

Это означает, что для каждой вершины треугольника, например, $B$, ее образ $B'$ будет лежать на луче $AB$, и расстояние $AB'$ будет в 2 раза больше расстояния $AB$. То же самое относится и к вершине $C$. Поскольку центр гомотетии совпадает с вершиной $A$, точка $A$ переходит сама в себя.

а)

1. Находим образ точки B (B'). От точки A до точки B нужно сместиться на 2 клетки вправо. Чтобы найти точку B', нужно удвоить это смещение: $2 \times 2 = 4$ клетки вправо от A.

2. Находим образ точки C (C'). От точки A до точки C нужно сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Чтобы найти точку C', удваиваем эти смещения: $1 \times 2 = 2$ клетки вправо и $2 \times 2 = 4$ клетки вверх от A.

3. Строим новый треугольник. Соединяем точки A, B' и C'. Полученный треугольник $AB'C'$ является образом треугольника $ABC$ при данной гомотетии.

Ответ: Изображение искомого треугольника $AB'C'$ показано на рисунке красным цветом.

б)

1. Находим образ точки B (B'). От точки A до точки B нужно сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Удваиваем смещения: $3 \times 2 = 6$ клеток вправо и $1 \times 2 = 2$ клетки вниз от A.

2. Находим образ точки C (C'). От точки A до точки C нужно сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Удваиваем смещения: $1 \times 2 = 2$ клетки вправо и $2 \times 2 = 4$ клетки вверх от A.

3. Строим новый треугольник. Соединяем точки A, B' и C', чтобы получить искомый треугольник $AB'C'$.

Ответ: Изображение искомого треугольника $AB'C'$ показано на рисунке красным цветом.