Номер 7, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Пусть движение переводит угол $AOB$ в угол $A'O'B'$. Докажите, что биссектриса $OC$ угла $AOB$ перейдет в биссектрису $O'C'$ угла $A'O'B'$.

Доказательство:

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Ключевым свойством движения, необходимым для решения этой задачи, является то, что оно сохраняет величины углов.

По условию задачи, луч $OC$ является биссектрисой угла $AOB$. По определению биссектрисы, это означает, что луч $OC$ делит угол $AOB$ на два равных по величине угла: $\angle AOC = \angle COB$.

При заданном движении угол $AOB$ переходит в угол $A'O'B'$. Это означает, что лучи $OA$, $OB$ и $OC$ переходят в соответствующие лучи $O'A'$, $O'B'$ и $O'C'$. В результате этого преобразования угол $AOC$ переходит в угол $A'O'C'$, а угол $COB$ переходит в угол $C'O'B'$.

Поскольку движение сохраняет величины углов, мы можем утверждать, что величина каждого угла равна величине его образа: $\angle A'O'C' = \angle AOC$ и $\angle C'O'B' = \angle COB$.

Так как мы знаем, что $\angle AOC = \angle COB$, из этого следует, что их образы при движении также равны между собой: $\angle A'O'C' = \angle C'O'B'$.

Данное равенство показывает, что луч $O'C'$ делит угол $A'O'B'$ на два равных угла. Следовательно, по определению, луч $O'C'$ является биссектрисой угла $A'O'B'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как движение сохраняет величины углов, из равенства углов $AOC$ и $COB$ следует равенство их образов — углов $A'O'C'$ и $C'O'B'$. Это означает, что образ биссектрисы $OC$ является биссектрисой $O'C'$ для образа угла $A'O'B'$.