Номер 10, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Для двух данных равных отрезков (рис. 12.7) укажите движение, переводящее один в другой.

Рис. 12.7

1. Анализ условия и данных с рисунка

Движением в геометрии называют преобразование, сохраняющее расстояния между точками (изометрию). Для того чтобы существовало движение, переводящее отрезок $AB$ в отрезок $CD$, необходимо, чтобы длины этих отрезков были равны, что и утверждается в условии задачи.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, приняв за единицу длины сторону одной клетки. Определим координаты концов отрезков по рисунку: $A(0, 3)$, $B(3, 2)$, $C(2, 4)$, $D(3, 6)$.

Теперь вычислим квадраты длин отрезков, используя формулу расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Для отрезка $AB$: $|AB|^2 = (3-0)^2 + (2-3)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
Для отрезка $CD$: $|CD|^2 = (3-2)^2 + (6-4)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Поскольку $|AB|^2 \neq |CD|^2$, отрезки $AB$ и $CD$ на рисунке не равны. Это означает, что в условии или в самом рисунке содержится ошибка, так как не существует движения, которое переводит отрезок в отрезок другой длины.

2. Корректировка условия и нахождение движения

Наиболее вероятно, что на рисунке допущена небольшая опечатка в положении одной из точек. Предположим, что точка $C$ имеет координаты $(2, 3)$ вместо $(2, 4)$. Обозначим эту точку как $C'$. Проверим, будут ли в этом случае отрезки $AB$ и $C'D$ равны.
Длина отрезка $C'D$ с концами в точках $C'(2, 3)$ и $D(3, 6)$:
$|C'D|^2 = (3-2)^2 + (6-3)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Теперь $|AB|^2 = |C'D|^2 = 10$, так что отрезки равны. Найдем движение, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $C'D$. Таким движением может быть поворот. Примем, что точка $A$ переходит в $C'$, а точка $B$ — в $D$.

Центр поворота $O$ равноудален от соответствующих точек, а значит, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам $AC'$ и $BD$.

- Серединный перпендикуляр к отрезку $AC'$ ($A(0, 3)$, $C'(2, 3)$): середина отрезка находится в точке $(1, 3)$. Так как отрезок $AC'$ горизонтален, его серединный перпендикуляр — это вертикальная прямая $x = 1$.

- Серединный перпендикуляр к отрезку $BD$ ($B(3, 2)$, $D(3, 6)$): середина отрезка находится в точке $(3, 4)$. Так как отрезок $BD$ вертикален, его серединный перпендикуляр — это горизонтальная прямая $y = 4$.

Точка пересечения этих двух прямых $x=1$ и $y=4$ и есть центр поворота $O(1, 4)$.

Определим угол поворота. Он равен углу между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC'}$.
$\vec{OA} = (0-1, 3-4) = (-1, -1)$
$\vec{OC'} = (2-1, 3-4) = (1, -1)$
Найдем косинус угла $\alpha$ между ними:
$\cos \alpha = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OC'}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{OC'}|} = \frac{(-1)(1) + (-1)(-1)}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{-1+1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0}{2} = 0$.
Следовательно, угол поворота $\alpha$ равен $90^\circ$ или $-90^\circ$. Поворот вектора $\vec{OA}$ в вектор $\vec{OC'}$ на координатной плоскости происходит против часовой стрелки, значит, угол поворота равен $+90^\circ$.

Таким образом, при условии исправления опечатки на рисунке, искомое движение — это поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $(1, 4)$.

Ответ: В задаче имеется неточность: изображенные отрезки не равны. Если исправить положение точки $C$ на $(2, 3)$, то искомым движением будет поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $(1, 4)$.