Номер 18, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

18. Повторите признаки равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия: 1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ ($AB = A_1B_1$).2. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).3. Угол $\angle A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$, равен углу $\angle A_1$, образованному сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$ ($\angle A = \angle A_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех остальных соответствующих элементов: $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.
Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия:1. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).2. Угол $\angle A$, прилежащий к стороне $AC$, равен углу $\angle A_1$, прилежащему к стороне $A_1C_1$ ($\angle A = \angle A_1$).3. Угол $\angle C$, прилежащий к стороне $AC$, равен углу $\angle C_1$, прилежащему к стороне $A_1C_1$ ($\angle C = \angle C_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех остальных соответствующих элементов: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$.
Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия:1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ ($AB = A_1B_1$).2. Сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$).3. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.
Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, помимо общих признаков, существуют также частные признаки равенства, которые упрощают доказательство.
1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай первого признака, так как угол между катетами прямой и равен $90^\circ$).
2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай второго признака).
3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Если гипотенуза $AB = A_1B_1$ и катет $AC = A_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Ответ: Прямоугольные треугольники равны по двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.