Номер 4, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Подобны ли треугольники, изображенные на рисунке 14.4?

Рис. 14.4

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники, необходимо проверить, пропорциональны ли их соответственные стороны или равны ли их соответственные углы. Проанализируем обе пары треугольников, изображенных на рисунке.

Треугольники на левом рисунке

Оба треугольника на левом рисунке являются прямоугольными. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу. Найдем длины катетов каждого треугольника.

У меньшего треугольника (слева) длины катетов равны $1$ и $2$.

У большего треугольника (справа) длины катетов равны $2$ и $3$.

Для того чтобы два прямоугольных треугольника были подобны, необходимо, чтобы отношение их соответствующих катетов было одинаковым. Сравним отношения катетов:

Отношение длин катетов для первого треугольника: $ \frac{1}{2} $.

Отношение длин катетов для второго треугольника: $ \frac{2}{3} $.

Поскольку $ \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3} $, катеты не пропорциональны, следовательно, треугольники не подобны.

Можно также проверить пропорциональность всех сторон. Найдем гипотенузы по теореме Пифагора:

Гипотенуза первого треугольника: $ c_1 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Гипотенуза второго треугольника: $ c_2 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $.

Сравним отношения соответствующих сторон: $ \frac{2}{1} = 2 $ и $ \frac{3}{2} = 1.5 $. Так как $ 2 \neq 1.5 $, стороны не пропорциональны.

Ответ: нет, треугольники на левом рисунке не подобны.

Треугольники на правом рисунке

Найдем длины сторон каждого треугольника, используя теорему Пифагора или формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Для нижнего треугольника, его стороны можно рассматривать как гипотенузы прямоугольных треугольников, построенных на сетке:

Сторона 1: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 2: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 3: катеты $1$ и $3$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} $.

Стороны нижнего треугольника равны $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{10} $. Проверим, является ли он прямоугольным: $ (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = (\sqrt{10})^2 $. Да, это прямоугольный равнобедренный треугольник.

Для верхнего треугольника:

Сторона 1: катеты $1$ и $1$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

Сторона 2: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 3: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Стороны верхнего треугольника равны $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{5} $. Это равнобедренный треугольник. Проверим, является ли он прямоугольным: $ (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 2 + 5 = 7 \neq (\sqrt{5})^2 $. Нет, это не прямоугольный треугольник.

Поскольку один треугольник является прямоугольным, а другой — нет, их углы не могут быть соответственно равны. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Также можно проверить пропорциональность сторон. Упорядочим стороны по возрастанию: $\{\sqrt{5}, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$ для первого и $\{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ для второго. Отношения соответствующих сторон: $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} $, $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1 $, $ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2} $. Отношения не равны, значит треугольники не подобны.

Ответ: нет, треугольники на правом рисунке не подобны.