Вопросы, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие треугольники называются подобными?

2. Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

3. Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

4. Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

5. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников.

1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Соответственными сторонами называются стороны, лежащие против равных углов.
Это означает, что для двух подобных треугольников, например $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ (обозначается как $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), выполняются следующие условия:
1. Равенство углов: $ \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1 $.
2. Пропорциональность сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $.
Число $ k $, равное отношению соответственных сторон, называется коэффициентом подобия.
Ответ: Подобными называются треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.

2.Первый признак подобия треугольников (по двум углам):
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Равенство третьих углов ($ \angle C = \angle C_1 $) следует из теоремы о сумме углов треугольника.
Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

3.Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $ и $ \angle A = \angle A_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

4.Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам):
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется равенство отношений $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

5. Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями общих признаков подобия, но их формулировки упрощаются, так как у всех прямоугольных треугольников есть по одному равному углу — прямому углу ($ 90^\circ $).
Признак 1 (по острому углу): Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. (Это следует из первого признака подобия, так как прямые углы у них также равны).
Признак 2 (по двум катетам): Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам другого, то такие треугольники подобны. (Это следует из второго признака подобия, так как угол между катетами — прямой).
Признак 3 (по катету и гипотенузе): Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники подобны.
Ответ: Прямоугольные треугольники подобны: 1) по одному острому углу; 2) если их катеты пропорциональны; 3) если их катет и гипотенуза пропорциональны.