Задания, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно сформулируйте признак подобия прямоугольных треугольников, являющийся следствием третьего признака подобия треугольников.

Для формулировки требуемого признака подобия необходимо сначала вспомнить третий признак подобия треугольников (по трем сторонам): если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теперь применим этот общий признак к частному случаю — прямоугольным треугольникам, чтобы вывести из него следствие.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $△ABC$ с прямым углом $∠C$ и $△A_1B_1C_1$ с прямым углом $∠C_1$. Обозначим их стороны: $a, b$ – катеты и $c$ – гипотенуза для $△ABC$; $a_1, b_1$ – катеты и $c_1$ – гипотенуза для $△A_1B_1C_1$.

Согласно третьему признаку подобия, эти треугольники будут подобны ($△ABC \sim △A_1B_1C_1$), если выполняется равенство отношений всех трех пар соответствующих сторон:

$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$

Докажем, что для прямоугольных треугольников это условие будет выполнено, если пропорциональны только две пары сторон: гипотенуза и один из катетов. Это позволит сформулировать более простой признак.

Доказательство:

Пусть в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого. Для определенности, пусть:

$\frac{c}{c_1} = \frac{a}{a_1} = k$

где $k$ – коэффициент пропорциональности. Из этого соотношения следует, что $c = k \cdot c_1$ и $a = k \cdot a_1$. Наша задача — доказать, что отношение вторых катетов $\frac{b}{b_1}$ также равно $k$.

По теореме Пифагора для треугольника $△ABC$ имеем: $b^2 = c^2 - a^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $c$ и $a$ через стороны треугольника $△A_1B_1C_1$ и коэффициент $k$:

$b^2 = (k \cdot c_1)^2 - (k \cdot a_1)^2 = k^2c_1^2 - k^2a_1^2 = k^2(c_1^2 - a_1^2)$

В то же время, по теореме Пифагора для треугольника $△A_1B_1C_1$, мы знаем, что $c_1^2 - a_1^2 = b_1^2$.

Подставим это в наше выражение для $b^2$:

$b^2 = k^2 \cdot b_1^2$

Поскольку длины сторон являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$b = k \cdot b_1$

Отсюда следует, что $\frac{b}{b_1} = k$.

Таким образом, мы показали, что из пропорциональности гипотенузы и одного катета ($\frac{c}{c_1} = \frac{a}{a_1} = k$) автоматически следует пропорциональность и второго катета ($\frac{b}{b_1} = k$). Это означает, что выполняется полное условие третьего признака подобия: $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$. Следовательно, треугольники подобны.

На основании этого доказательства мы можем сформулировать искомый признак.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого, то такие треугольники подобны.

Ответ: Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого.