Номер 17, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 12 и 3. Отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит эту трапецию на две подобные трапеции (рис. 13.11). Найдите отрезок $EF$ и отношение $AE : ED$.

Рис. 13.11

Найдите отрезок EF

По условию задачи, отрезок EF, параллельный основаниям, делит трапецию ABCD на две подобные трапеции: ABEF и EFCD. Когда две трапеции подобны, отношения их соответственных сторон равны. Соответственными сторонами в данном случае являются:

• Нижнее основание первой трапеции (AB) и нижнее основание второй (EF).

• Верхнее основание первой трапеции (EF) и верхнее основание второй (CD).

• Боковые стороны (AE и ED, а также BF и FC).

Из подобия трапеций ABEF и EFCD следует, что отношение их оснований одинаково. Обозначим длину отрезка EF через $x$.

$\frac{AB}{EF} = \frac{EF}{CD}$

Подставим известные значения оснований $AB = 12$ и $CD = 3$ в данное соотношение:

$\frac{12}{x} = \frac{x}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x \cdot x = 12 \cdot 3$

$x^2 = 36$

Поскольку длина отрезка является положительным числом, находим значение $x$:

$x = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, длина отрезка EF равна 6. Это значение является средним геометрическим длин оснований исходной трапеции.

Ответ: $EF = 6$.

Найдите отношение AE : ED

Из того же условия подобия трапеций ABEF и EFCD следует, что отношение их соответственных боковых сторон равно коэффициенту подобия. Для левых боковых сторон AE и ED это отношение записывается так:

$\frac{AE}{ED} = k$

где $k$ — коэффициент подобия. Мы можем найти этот коэффициент из отношения соответственных оснований, которые мы уже использовали:

$k = \frac{AB}{EF}$ или $k = \frac{EF}{CD}$

Подставим известные и найденные значения:

$k = \frac{12}{6} = 2$

Проверим по второй паре оснований:

$k = \frac{6}{3} = 2$

Коэффициент подобия равен 2. Следовательно, отношение боковых сторон AE и ED также равно 2:

$\frac{AE}{ED} = 2$

Это можно записать в виде отношения $AE : ED = 2 : 1$.

Ответ: $AE : ED = 2:1$.