Номер 13, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Подобны ли прямоугольники, образующие рамку картины (рис. 13.9)? Ширина рамки постоянна.

Рис. 13.9

Для того чтобы определить, подобны ли прямоугольники, образующие рамку, необходимо проверить, выполняется ли для них условие подобия. Два прямоугольника подобны, если отношение их соответственных сторон равно.

Пусть размеры внутреннего прямоугольника (самой картины) равны $a$ и $b$. Пусть ширина рамки, которая постоянна, равна $x$.

Тогда размеры внешнего прямоугольника будут:

Длина: $a + x + x = a + 2x$

Ширина: $b + x + x = b + 2x$

Для того чтобы внутренний и внешний прямоугольники были подобны, отношение их длин должно быть равно отношению их ширин. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{a+2x}{a} = \frac{b+2x}{b}$

Также можно записать это как равенство отношений длины к ширине для каждого прямоугольника:

$\frac{a}{b} = \frac{a+2x}{b+2x}$

Чтобы проверить, при каких условиях это равенство выполняется, решим уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$a \cdot (b+2x) = b \cdot (a+2x)$

Раскроем скобки:

$ab + 2ax = ab + 2bx$

Вычтем из обеих частей уравнения $ab$:

$2ax = 2bx$

Поскольку ширина рамки $x$ - это положительная величина ($x > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $2x$:

$a = b$

Этот результат показывает, что прямоугольники, образующие рамку, подобны только в том случае, если внутренний прямоугольник является квадратом ($a=b$). Если картина квадратная, то и рамка с ней будет квадратной, а любые два квадрата подобны. Однако, в общем случае, когда картина представляет собой прямоугольник, не являющийся квадратом ($a \neq b$), условие подобия не выполняется. На рисунке 13.9 изображен именно такой общий случай.

Ответ: Нет, в общем случае прямоугольники, образующие рамку, не подобны. Они подобны только в том случае, если исходная картина имеет форму квадрата.