Номер 14, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На рисунке 13.10 изображен параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, от которого отсечен другой параллелограмм $FBCE$, подобный данному. Каким должен быть отрезок $BF$?

Рис. 13.10

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$ и $BC = b$. От него отсечен другой параллелограмм $FBCE$, подобный данному. Точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $DC$. Необходимо найти длину отрезка $BF$. Обозначим искомую длину $BF = x$.

Так как $FBCE$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны: $FB = EC = x$ и $BC = FE = b$. Следовательно, смежные стороны параллелограмма $FBCE$ равны $x$ и $b$.

По условию, параллелограмм $ABCD$ подобен параллелограмму $FBCE$. Подобие многоугольников означает, что их соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон постоянны (равны коэффициенту подобия).

1. Сравнение углов.Углы параллелограмма $ABCD$ при вершинах $B$ и $C$ — это $\angle ABC$ и $\angle BCD$. В параллелограмме $FBCE$ угол при вершине $B$ — это $\angle FBC$. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $AB$, угол $\angle FBC$ совпадает с углом $\angle ABC$. Так как у параллелограммов $ABCD$ и $FBCE$ один угол общий, то и все остальные углы у них соответственно равны. Таким образом, условие равенства углов для подобия выполняется.

2. Сравнение сторон.Так как параллелограммы подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть одинаковым. Смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AB = a$ и $BC = b$. Смежные стороны параллелограмма $FBCE$ равны $FB = x$ и $BC = b$.

Существует две возможные пропорции для соответствия сторон:

а) Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ соответствует стороне $FB$ параллелограмма $FBCE$, а сторона $BC$ ($ABCD$) соответствует стороне $BC$ ($FBCE$). В этом случае отношение сторон будет:$\frac{AB}{FB} = \frac{BC}{BC}$Подставляя значения, получаем:$\frac{a}{x} = \frac{b}{b} = 1$Отсюда $x = a$. Это означало бы, что точка $F$ совпадает с точкой $A$, и параллелограмм $FBCE$ был бы равен параллелограмму $ABCD$. Это противоречит условию, что $FBCE$ "отсечен" от $ABCD$, то есть является его частью.

б) Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ соответствует стороне $BC$ параллелограмма $FBCE$, а сторона $BC$ ($ABCD$) соответствует стороне $FB$ ($FBCE$). Такое соответствие означает, что отношение сторон в одном параллелограмме равно отношению соответствующих сторон в другом. Запишем пропорцию:$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{FB}$

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон:$\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти длину $BF$:$a \cdot x = b \cdot b$$x = \frac{b^2}{a}$

Это и есть искомая длина отрезка $BF$.

Ответ: Длина отрезка $BF$ должна быть равна $\frac{b^2}{a}$.