Страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен:

а) $0,5$;

б) $2$.

Для нахождения сторон подобного треугольника необходимо каждую сторону исходного треугольника умножить на коэффициент подобия $k$. Пусть стороны исходного треугольника $a = 5$ см, $b = 8$ см и $c = 10$ см. Тогда стороны подобного ему треугольника $a'$, $b'$ и $c'$ будут вычисляться по формулам: $a' = k \cdot a$, $b' = k \cdot b$, $c' = k \cdot c$.

а) При коэффициенте подобия $k = 0,5$ найдем стороны нового треугольника:
$a' = 0,5 \cdot 5 = 2,5$ см
$b' = 0,5 \cdot 8 = 4$ см
$c' = 0,5 \cdot 10 = 5$ см
Ответ: 2,5 см, 4 см, 5 см.

б) При коэффициенте подобия $k = 2$ найдем стороны нового треугольника:
$a' = 2 \cdot 5 = 10$ см
$b' = 2 \cdot 8 = 16$ см
$c' = 2 \cdot 10 = 20$ см
Ответ: 10 см, 16 см, 20 см.

3. Подобны ли прямоугольные треугольники, если у одного из них есть угол $40^\circ$, а у другого $50^\circ$?

3. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны (первый признак подобия треугольников). Для прямоугольных треугольников этот признак можно упростить: два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу.

Рассмотрим первый прямоугольный треугольник. Один его угол по определению равен $90°$. Второй угол дан по условию и равен $40°$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Следовательно, третий угол этого треугольника равен:

$180° - 90° - 40° = 50°$

Таким образом, углы первого треугольника равны $90°, 40°, 50°$.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник. Один его угол также равен $90°$. Второй угол по условию равен $50°$. Найдем третий угол этого треугольника:

$180° - 90° - 50° = 40°$

Таким образом, углы второго треугольника равны $90°, 50°, 40°$.

Сравнивая наборы углов обоих треугольников, мы видим, что они одинаковы: $\{90°, 40°, 50°\}$. Поскольку все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Ответ: да, данные прямоугольные треугольники подобны.

4. Подобны ли треугольники, изображенные на рисунке 14.4?

Рис. 14.4

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники, необходимо проверить, пропорциональны ли их соответственные стороны или равны ли их соответственные углы. Проанализируем обе пары треугольников, изображенных на рисунке.

Треугольники на левом рисунке

Оба треугольника на левом рисунке являются прямоугольными. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу. Найдем длины катетов каждого треугольника.

У меньшего треугольника (слева) длины катетов равны $1$ и $2$.

У большего треугольника (справа) длины катетов равны $2$ и $3$.

Для того чтобы два прямоугольных треугольника были подобны, необходимо, чтобы отношение их соответствующих катетов было одинаковым. Сравним отношения катетов:

Отношение длин катетов для первого треугольника: $ \frac{1}{2} $.

Отношение длин катетов для второго треугольника: $ \frac{2}{3} $.

Поскольку $ \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3} $, катеты не пропорциональны, следовательно, треугольники не подобны.

Можно также проверить пропорциональность всех сторон. Найдем гипотенузы по теореме Пифагора:

Гипотенуза первого треугольника: $ c_1 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Гипотенуза второго треугольника: $ c_2 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $.

Сравним отношения соответствующих сторон: $ \frac{2}{1} = 2 $ и $ \frac{3}{2} = 1.5 $. Так как $ 2 \neq 1.5 $, стороны не пропорциональны.

Ответ: нет, треугольники на левом рисунке не подобны.

Треугольники на правом рисунке

Найдем длины сторон каждого треугольника, используя теорему Пифагора или формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Для нижнего треугольника, его стороны можно рассматривать как гипотенузы прямоугольных треугольников, построенных на сетке:

Сторона 1: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 2: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 3: катеты $1$ и $3$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} $.

Стороны нижнего треугольника равны $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{10} $. Проверим, является ли он прямоугольным: $ (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = (\sqrt{10})^2 $. Да, это прямоугольный равнобедренный треугольник.

Для верхнего треугольника:

Сторона 1: катеты $1$ и $1$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

Сторона 2: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Сторона 3: катеты $1$ и $2$. Длина: $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $.

Стороны верхнего треугольника равны $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{5} $. Это равнобедренный треугольник. Проверим, является ли он прямоугольным: $ (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 2 + 5 = 7 \neq (\sqrt{5})^2 $. Нет, это не прямоугольный треугольник.

Поскольку один треугольник является прямоугольным, а другой — нет, их углы не могут быть соответственно равны. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Также можно проверить пропорциональность сторон. Упорядочим стороны по возрастанию: $\{\sqrt{5}, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$ для первого и $\{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ для второго. Отношения соответствующих сторон: $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} $, $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1 $, $ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2} $. Отношения не равны, значит треугольники не подобны.

Ответ: нет, треугольники на правом рисунке не подобны.

5. На рисунке 14.5 укажите все подобные треугольники.

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 14.5

а)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle CAB = 90^\circ$), в который вписана фигура с вершинами $D$ на $AB$, $E$ на $BC$ и $F$ на $AC$. По условию, $FE \perp AC$ и $ED \perp AB$. Это создает еще два прямоугольных треугольника: $\triangle FEC$ и $\triangle EDB$.

1. Сравним треугольники $\triangle FEC$ и $\triangle ABC$.
Оба треугольника прямоугольные: $\angle CFE = 90^\circ$ и $\angle CAB = 90^\circ$.
Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам (AA), $\triangle FEC \sim \triangle ABC$. (Правильное соответствие вершин: $\triangle FEC \sim \triangle ABC$, так как $\angle C$ - общий, а $\angle CFE = \angle CAB$).

2. Сравним треугольники $\triangle EDB$ и $\triangle ACB$.
Оба треугольника имеют по одному прямому углу: $\angle EDB = 90^\circ$ и $\angle CAB = 90^\circ$.
Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
Пусть $\angle B = \beta$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ACB$ угол $\angle ACB = 90^\circ - \beta$.
В прямоугольном треугольнике $EDB$ угол $\angle DEB = 90^\circ - \beta$.
Таким образом, $\angle ACB = \angle DEB$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам (AA), используя общий угол $\angle B$ и равенство углов $\angle ACB = \angle DEB$, получаем, что $\triangle EDB \sim \triangle ACB$.

3. Поскольку $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ и $\triangle EDB \sim \triangle ACB$, то по свойству транзитивности все три треугольника подобны друг другу: $\triangle FEC \sim \triangle EDB \sim \triangle ACB$.

Ответ: $\triangle FEC \sim \triangle EDB \sim \triangle ACB$.

б)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) и вписанный в него прямоугольник $GFED$ так, что вершины $G$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершины $E$ и $D$ — на гипотенузе $AB$. Из этого следует, что $GF \parallel AB$, $GD \perp AB$ и $FE \perp AB$.

1. Сравним $\triangle CGF$ и $\triangle CAB$.
Так как $GF \parallel AB$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса) $\triangle CGF \sim \triangle CAB$. (Угол $\angle C$ общий, а $\angle CGF = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $GF$ и $AB$ и секущей $AC$).

2. Сравним $\triangle AGD$ и $\triangle CAB$.
$\angle GAD$ (он же $\angle A$) является общим.
$\triangle AGD$ — прямоугольный, так как $GD \perp AB$, т.е. $\angle ADG = 90^\circ$.
$\triangle CAB$ — прямоугольный, $\angle ACB = 90^\circ$.
Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда в $\triangle CAB$ угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$.
В $\triangle AGD$ угол $\angle AGD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.
Следовательно, $\angle AGD = \angle CBA$. Так как углы треугольников соответственно равны ($\angle A$, $90^\circ-\alpha$, $90^\circ$), то $\triangle AGD \sim \triangle CAB$.

3. Сравним $\triangle BFE$ и $\triangle BCA$.
$\angle FBE$ (он же $\angle B$) является общим.
$\triangle BFE$ — прямоугольный, так как $FE \perp AB$, т.е. $\angle BEF = 90^\circ$.
$\triangle BCA$ — прямоугольный, $\angle BCA = 90^\circ$.
Пусть $\angle B = \beta$. Тогда в $\triangle BCA$ угол $\angle A = 90^\circ - \beta$.
В $\triangle BFE$ угол $\angle BFE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \beta$.
Следовательно, $\angle BFE = \angle BAC$. Так как углы треугольников соответственно равны ($\angle B$, $90^\circ-\beta$, $90^\circ$), то $\triangle BFE \sim \triangle BCA$.

4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что все указанные треугольники подобны друг другу.

Ответ: $\triangle CGF \sim \triangle AGD \sim \triangle BFE \sim \triangle CAB$.

в)

На рисунке изображена прямоугольная трапеция $ADCB$ с основаниями $DA$ и $CB$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Из отметок на сторонах следует, что $DC = CB$. $E$ — точка на диагонали $DB$ такая, что $CE \perp DB$.

1. Найдем углы треугольников. Пусть $\angle CBD = \alpha$.
Поскольку $\triangle DCB$ равнобедренный ($DC=CB$), то $\angle CDB = \angle CBD = \alpha$.
В прямоугольном $\triangle CEB$ ($\angle CEB=90^\circ$) имеем: $\angle BCE = 90^\circ - \angle CBE = 90^\circ - \alpha$.

2. Рассмотрим $\triangle DAB$. Угол $\angle CBA = 90^\circ$, поэтому $\angle DBA = 90^\circ - \angle CBD = 90^\circ - \alpha$.
Так как $\triangle DAB$ прямоугольный ($\angle DAB=90^\circ$), то $\angle ADB = 90^\circ - \angle DBA = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Таким образом, углы $\triangle DAB$ равны $90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$.

3. Рассмотрим $\triangle DEC$. Мы знаем, что $\angle CDE = \angle CDB = \alpha$. Угол $\angle DCB = 180^\circ - 2\alpha$.
Тогда $\angle DCE = \angle DCB - \angle BCE = (180^\circ - 2\alpha) - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha$.
Третий угол $\triangle DEC$ равен $\angle DEC = 180^\circ - \angle CDE - \angle DCE = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$.
Таким образом, углы $\triangle DEC$ также равны $90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$.

4. Все три треугольника, $\triangle DAB$, $\triangle CEB$ и $\triangle DEC$, имеют одинаковый набор углов ($90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$), следовательно, они подобны друг другу.

Ответ: $\triangle DAB \sim \triangle CEB \sim \triangle DEC$.

г)

На рисунке изображена трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Отмеченные углы $\angle ACB$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, что подтверждает параллельность оснований.

1. Сравним треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.
$\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные углы.
$\angle OCB = \angle OAD$ как внутренние накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$.
$\angle OBC = \angle ODA$ как внутренние накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$.
Следовательно, по признаку подобия по двум (или трем) углам, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$.

В общем случае для произвольной трапеции другие пары треугольников ($\triangle AOB$ и $\triangle DOC$, и т.д.) не являются подобными.

Ответ: $\triangle BOC \sim \triangle DOA$.

д)

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Точки $F$ и $G$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно. Отрезок $CD$ соединяет вершину $C$ с точкой $D$ на основании $AB$. Отрезки $FG$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. По условию, $\angle A = \angle CFG$.

1. Так как $\angle A$ и $\angle CFG$ являются соответственными углами при прямых $AB$ и $FG$ и секущей $AC$, и они равны, то $FG \parallel AB$.

2. Сравним $\triangle FGC$ и $\triangle ABC$.
Угол $\angle C$ общий. $\angle CFG = \angle CAB$ (по условию). Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle FGC \sim \triangle ABC$.

3. Сравним $\triangle FEC$ и $\triangle ADC$.
Так как $C, E, D$ лежат на одной прямой, то угол при вершине $C$ у них общий ($\angle FCE = \angle ACD$).
Поскольку $FG \parallel AB$, то и $FE \parallel AD$. Тогда $\angle CFE = \angle CAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $FE$ и $AD$ и секущей $AC$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle FEC \sim \triangle ADC$.

4. Сравним $\triangle GEC$ и $\triangle BDC$.
Так как $C, E, D$ лежат на одной прямой, то угол при вершине $C$ у них общий ($\angle GCE = \angle BCD$).
Поскольку $FG \parallel AB$, то и $EG \parallel DB$. Тогда $\angle CGE = \angle CBD$ как соответственные углы при параллельных прямых $EG$ и $DB$ и секущей $BC$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle GEC \sim \triangle BDC$.

Таким образом, на рисунке есть три пары подобных треугольников.

Ответ: $\triangle FGC \sim \triangle ABC$, $\triangle FEC \sim \triangle ADC$, $\triangle GEC \sim \triangle BDC$.

6. Изобразите треугольник, подобный треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = 2$ (рис. 14.6, 14.7).

Рис. 14.6

Рис. 14.7

Чтобы построить треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия $k$, необходимо каждую сторону исходного треугольника умножить на этот коэффициент. На клетчатой бумаге это удобно сделать с помощью гомотетии (преобразования подобия) относительно одной из вершин.

Рис. 14.6

Построим треугольник A'B'C', подобный треугольнику ABC, с коэффициентом подобия $k = 2$. Выберем вершину A в качестве центра гомотетии. Это значит, что новая вершина A' совпадет с A. Остальные вершины B' и C' будут лежать на лучах AB и AC соответственно, причем расстояния от центра A до них будут в 2 раза больше.

1. Найдем положение вершины B'. В исходном треугольнике, чтобы попасть из точки A в точку B, нужно сместиться на 1 клетку вправо. Для подобного треугольника с коэффициентом $k = 2$ смещение будет в 2 раза больше: $1 \times 2 = 2$ клетки вправо от точки A'.

2. Найдем положение вершины C'. Чтобы попасть из точки A в точку C, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Для подобного треугольника смещение будет в 2 раза больше: $2 \times 2 = 4$ клетки вправо и $1 \times 2 = 2$ клетки вверх от точки A'.

3. Соединим точки A', B' и C' для получения искомого треугольника.

Ответ: Чтобы изобразить подобный треугольник, можно оставить вершину A на своем месте (A' = A), вершину B' расположить на 2 клетки правее A', а вершину C' — на 4 клетки правее и 2 клетки выше A'.

Рис. 14.7

Аналогично построим треугольник A'B'C', подобный треугольнику ABC, с коэффициентом подобия $k = 2$. В качестве центра гомотетии выберем вершину B. Новая вершина B' совпадет с B. Вершины A' и C' будут лежать на лучах BA и BC, а расстояния BA' и BC' будут вдвое больше расстояний BA и BC.

1. Найдем положение вершины A'. В исходном треугольнике, чтобы попасть из точки B в точку A, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 2 клетки вверх. Для подобного треугольника смещение будет в 2 раза больше: $2 \times 2 = 4$ клетки влево и $2 \times 2 = 4$ клетки вверх от точки B'.

2. Найдем положение вершины C'. Чтобы попасть из точки B в точку C, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Для подобного треугольника смещение будет в 2 раза больше: $2 \times 2 = 4$ клетки вправо и $3 \times 2 = 6$ клеток вверх от точки B'.

3. Соединим точки A', B' и C' для получения искомого треугольника.

Ответ: Чтобы изобразить подобный треугольник, можно оставить вершину B на своем месте (B' = B), вершину A' расположить на 4 клетки левее и 4 клетки выше B', а вершину C' — на 4 клетки правее и 6 клеток выше B'.