Страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Стороны треугольника 12 м, 16 м и 18 м. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его меньшая сторона равна большей стороне данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a_1 = 12$ м, $b_1 = 16$ м и $c_1 = 18$ м. Упорядочим их по возрастанию, чтобы определить меньшую, среднюю и большую стороны: $12 < 16 < 18$.

Пусть стороны искомого треугольника, подобного данному, равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$. Так как треугольники подобны, то стороны $a_2$, $b_2$, $c_2$ также упорядочены по возрастанию и соответствуют сторонам $a_1$, $b_1$, $c_1$ соответственно.

По условию задачи, меньшая сторона второго треугольника ($a_2$) равна большей стороне первого треугольника ($c_1=18$ м). Следовательно, $a_2 = 18$ м.

Коэффициент подобия $k$ для подобных треугольников равен отношению длин соответственных сторон. Вычислим его, используя меньшие стороны обоих треугольников ($a_2$ и $a_1$):
$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь, зная коэффициент подобия, найдем длины остальных сторон второго треугольника, умножив соответствующие стороны первого треугольника на $k$:
Средняя сторона: $b_2 = b_1 \cdot k = 16 \cdot 1.5 = 24$ м.
Большая сторона: $c_2 = c_1 \cdot k = 18 \cdot 1.5 = 27$ м.

Ответ: 18 м, 24 м, 27 м.

23. Стороны треугольника равны 10, 15 и 20. Произведение сторон подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 10$, $b_1 = 15$ и $c_1 = 20$. Пусть стороны второго треугольника, который подобен первому, равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Отсюда мы можем выразить стороны второго треугольника через стороны первого и коэффициент подобия $k$:
$a_2 = k \cdot a_1 = 10k$
$b_2 = k \cdot b_1 = 15k$
$c_2 = k \cdot c_1 = 20k$

Согласно условию задачи, произведение сторон второго треугольника равно 24:
$a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 24$

Подставим в это уравнение выражения для сторон второго треугольника:
$(10k) \cdot (15k) \cdot (20k) = 24$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$10 \cdot 15 \cdot 20 \cdot k^3 = 24$
$3000 \cdot k^3 = 24$
$k^3 = \frac{24}{3000}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 24:
$k^3 = \frac{1}{125}$

Найдем коэффициент подобия $k$, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:
$k = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон второго треугольника:
$a_2 = 10 \cdot k = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$
$b_2 = 15 \cdot k = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3$
$c_2 = 20 \cdot k = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$

Проверим результат: произведение найденных сторон $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны второго треугольника равны 2, 3 и 4.

24. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.

Пусть дан первый равнобедренный треугольник, назовем его $\triangle ABC$, где $AB$ и $AC$ — боковые стороны, а $BC$ — основание. По условию, $AB = AC = 17$ см, а $BC = 10$ см. Угол между боковыми сторонами — это угол $\angle BAC$.

Пусть второй равнобедренный треугольник — это $\triangle A'B'C'$, где $A'B'$ и $A'C'$ — боковые стороны, а $B'C'$ — основание. По условию, $B'C' = 8$ см. Нам нужно найти длину боковой стороны, обозначим ее за $x$, то есть $A'B' = A'C' = x$. Угол между его боковыми сторонами — это $\angle B'A'C'$.

В условии сказано, что углы между боковыми сторонами у этих треугольников равны: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

Рассмотрим признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В нашем случае:

1. Углы между боковыми сторонами равны: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

2. Стороны, образующие эти углы, — это боковые стороны треугольников. Проверим их пропорциональность:

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{x}{17}$

$\frac{A'C'}{AC} = \frac{x}{17}$

Так как отношения равны ($\frac{x}{17} = \frac{x}{17}$), то боковые стороны пропорциональны.

Поскольку два условия выполнены, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$).

У подобных треугольников отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Это означает, что отношение оснований равно отношению боковых сторон:

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{x}{17} = \frac{8}{10}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x = 17 \cdot \frac{8}{10}$

$x = 17 \cdot 0.8$

$x = 13.6$

Таким образом, боковая сторона второго треугольника равна 13,6 см.

Ответ: 13,6 см.

25. Докажите, что равнобедренные треугольники подобны, если углы при их вершинах, противолежащих основаниям, равны.

Доказательство

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$. Вершина, противолежащая основанию в $\triangle ABC$ — это $B$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ — это $B_1$.

По условию задачи, углы при этих вершинах равны, то есть $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle BAC = \angle BCA$, и в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, можно записать: $2 \cdot \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$. Отсюда выразим угол при основании: $\angle BAC = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle B_1A_1C_1 + \angle A_1B_1C_1 + \angle B_1C_1A_1 = 180^\circ$. Поскольку $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$, можно записать: $2 \cdot \angle B_1A_1C_1 + \angle A_1B_1C_1 = 180^\circ$. Отсюда выразим угол при основании: $\angle B_1A_1C_1 = \frac{180^\circ - \angle A_1B_1C_1}{2}$.

Так как по условию $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то правые части в формулах для углов при основании равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них есть две пары соответственно равных углов:

1. $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (по условию).

2. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (из доказанного выше).

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в двух равнобедренных треугольниках равны углы при вершине, то равны и углы при основании (каждый из них равен $(180^\circ - \alpha)/2$, где $\alpha$ - угол при вершине). Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, и по признаку подобия по двум углам треугольники подобны.

26. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$ (рис. 14.14). Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны.

Рис. 14.14

Чтобы доказать, что треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны, воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум равным углам).

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle ACD = \angle BCE$.

2. По условию задачи, $AD$ и $BE$ являются высотами треугольника $ABC$. По определению высоты, отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, является высотой, если он перпендикулярен этой прямой. Таким образом, $AD \perp BC$ и $BE \perp AC$.

Из этого следует, что треугольники $ACD$ и $BCE$ являются прямоугольными. В треугольнике $ACD$ угол $\angle ADC = 90^\circ$. В треугольнике $BCE$ угол $\angle BEC = 90^\circ$.

Следовательно, мы имеем вторую пару равных углов: $\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\angle ACD$ и $\angle ADC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle BCE$ и $\angle BEC$), то треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны по первому признаку подобия.

Ответ: Треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам), так как у них есть общий угол $\angle C$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle BEC = 90^\circ$). Что и требовалось доказать.

Докажите, что треугольники ВСЕ и BDE подобны.

27. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся
как соответствующие стороны.

Рассмотрим два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть стороны первого треугольника равны $a, b, c$ (где $a=BC, b=AC, c=AB$), а соответствующие им стороны второго треугольника равны $a_1, b_1, c_1$ (где $a_1=B_1C_1, b_1=A_1C_1, c_1=A_1B_1$).

Периметр треугольника $\triangle ABC$ равен $P = a + b + c$. Периметр треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ равен $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

По определению, у подобных треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) отношение длин соответствующих сторон является постоянной величиной, называемой коэффициентом подобия $k$: $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k $

Из этого соотношения мы можем выразить длины сторон треугольника $\triangle ABC$ через длины сторон треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ и коэффициент подобия $k$: $ a = k \cdot a_1 $, $ b = k \cdot b_1 $, $ c = k \cdot c_1 $.

Теперь найдем отношение периметров этих двух треугольников. Для этого подставим полученные выражения для сторон $a, b, c$ в формулу периметра $P$: $ \frac{P}{P_1} = \frac{a + b + c}{a_1 + b_1 + c_1} = \frac{k \cdot a_1 + k \cdot b_1 + k \cdot c_1}{a_1 + b_1 + c_1} $

В числителе вынесем общий множитель $k$ за скобки: $ \frac{P}{P_1} = \frac{k(a_1 + b_1 + c_1)}{a_1 + b_1 + c_1} $

Так как периметр треугольника всегда является положительной величиной ($a_1 + b_1 + c_1 = P_1 > 0$), мы можем сократить дробь на выражение $(a_1 + b_1 + c_1)$: $ \frac{P}{P_1} = k $

Мы знаем, что коэффициент подобия $k$ также равен отношению длин соответствующих сторон, то есть $k = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$. Следовательно, мы можем записать итоговое равенство: $ \frac{P}{P_1} = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $

Таким образом, мы доказали, что периметры подобных треугольников относятся так же, как их соответствующие стороны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон, то есть коэффициенту подобия.

28. Подобны ли два треугольника, если все их средние линии соответственно пропорциональны?

C

Да, два треугольника будут подобны, если все их средние линии соответственно пропорциональны. Приведем доказательство этого утверждения.

Пусть даны два треугольника: $\triangle ABC$ со сторонами $a, b, c$ и $\triangle A'B'C'$ со сторонами $a', b', c'$.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Обозначим средние линии $\triangle ABC$, соответственные сторонам $a, b, c$, как $m_a, m_b, m_c$. Тогда их длины равны $m_a = \frac{1}{2}a$, $m_b = \frac{1}{2}b$, $m_c = \frac{1}{2}c$. Аналогично, для $\triangle A'B'C'$ средние линии $m'_a, m'_b, m'_c$ имеют длины $m'_a = \frac{1}{2}a'$, $m'_b = \frac{1}{2}b'$, $m'_c = \frac{1}{2}c'$.

По условию задачи, все средние линии этих двух треугольников соответственно пропорциональны. Это означает, что существует коэффициент пропорциональности $k$, для которого выполняется равенство:

$\frac{m'_a}{m_a} = \frac{m'_b}{m_b} = \frac{m'_c}{m_c} = k$

Подставим в это равенство выражения для длин средних линий через стороны треугольников:

$\frac{\frac{1}{2}a'}{\frac{1}{2}a} = \frac{\frac{1}{2}b'}{\frac{1}{2}b} = \frac{\frac{1}{2}c'}{\frac{1}{2}c} = k$

После сокращения множителя $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе каждой дроби, получаем соотношение для сторон исходных треугольников:

$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$

Это равенство показывает, что соответственные стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ пропорциональны. Согласно третьему признаку подобия треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Таким образом, мы доказали, что $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Ответ: Да, подобны.

29. На одной стороне угла $A$ отложены отрезки $AB = 5$ см и $AC = 16$ см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки $AD = 8$ см и $AE = 10$ см. Подобны ли треугольники $ACD$ и $ABE$?

Для решения этой задачи воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $ABE$.

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle CAD = \angle BAE$.

2. Проверим пропорциональность сторон, образующих этот угол.
В треугольнике $ACD$ стороны, прилежащие к углу $A$, это $AC = 16$ см и $AD = 8$ см.
В треугольнике $ABE$ стороны, прилежащие к углу $A$, это $AE = 10$ см и $AB = 5$ см.

Чтобы треугольники были подобны, отношения их соответствующих сторон должны быть равны. Сравним отношение большей стороны одного треугольника к большей стороне другого и, соответственно, меньшей к меньшей.
Большая сторона в $\triangle ACD$ — $AC=16$. Большая сторона в $\triangle ABE$ — $AE=10$.
Меньшая сторона в $\triangle ACD$ — $AD=8$. Меньшая сторона в $\triangle ABE$ — $AB=5$.

Найдем отношения этих сторон:
$\frac{AC}{AE} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{8}{5}$

Поскольку отношения сторон равны $\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AB}$, а угол $A$ между этими сторонами является общим, то треугольники подобны по второму признаку подобия. Точнее, $\triangle ACD \sim \triangle AEB$.

Ответ: Да, треугольники $ACD$ и $ABE$ подобны.

30. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$, такая, что $\angle ABD = \angle ACB$. Найдите стороны треугольника $ABD$, если $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$, $AC = 18 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$.

1. Угол $A$ ($\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. По условию задачи, $\angle ABD = \angle ACB$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников). Таким образом, $\triangle ABD \sim \triangle ACB$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{AB}$

Подставим известные значения сторон: $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 18$ см.

$\frac{8}{18} = \frac{BD}{12} = \frac{AD}{8}$

Теперь мы можем найти неизвестные стороны треугольника $ABD$ — $AD$ и $BD$.

Найдем сторону $AD$ из пропорции:

$\frac{8}{18} = \frac{AD}{8}$

$AD = \frac{8 \cdot 8}{18} = \frac{64}{18} = \frac{32}{9}$ см.

Найдем сторону $BD$ из этой же пропорции:

$\frac{8}{18} = \frac{BD}{12}$

$BD = \frac{8 \cdot 12}{18} = \frac{96}{18} = \frac{16}{3}$ см.

Сторона $AB$ треугольника $ABD$ известна из условия и равна 8 см.

Таким образом, стороны треугольника $ABD$ равны: $AB = 8$ см, $AD = \frac{32}{9}$ см, $BD = \frac{16}{3}$ см.

Ответ: стороны треугольника $ABD$ равны $8$ см, $\frac{32}{9}$ см и $\frac{16}{3}$ см.

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 25$ см, $BC = 20$ см и $AC = 30$ см. На стороне $AB$ отложен отрезок $BK = 4$ см, а на стороне $BC$ взята точка $L$ таким образом, что угол $BKL$ равен углу $C$ треугольника $ABC$. Найдите периметр треугольника $BKL$.

Дано:
Треугольник $ABC$
$AB = 25$ см
$BC = 20$ см
$AC = 30$ см
$K \in AB$, $BK = 4$ см
$L \in BC$
$\angle BKL = \angle C$

Найти:
Периметр треугольника $BKL$ ($P_{BKL}$)

Решение:
Рассмотрим два треугольника: $\triangle BKL$ и $\triangle BCA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\angle KBL = \angle CBA$).
2. По условию задачи, угол $\angle BKL$ равен углу $\angle C$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle BKL = \angle BCA$).

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle BKL$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BCA$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

$\triangle BKL \sim \triangle BCA$

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{BK}{BC} = \frac{BL}{BA} = \frac{KL}{CA} $

Подставим известные значения в это соотношение:

$ \frac{4}{20} = \frac{BL}{25} = \frac{KL}{30} $

Упростим первое отношение, чтобы найти коэффициент подобия $k$:

$ k = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

Теперь мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника $BKL$:

Из пропорции $ \frac{BL}{25} = \frac{1}{5} $ находим $BL$:
$ BL = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5 $ см.

Из пропорции $ \frac{KL}{30} = \frac{1}{5} $ находим $KL$:
$ KL = 30 \cdot \frac{1}{5} = 6 $ см.

Периметр треугольника $BKL$ равен сумме длин его сторон:

$ P_{BKL} = BK + BL + KL $

$ P_{BKL} = 4 + 5 + 6 = 15 $ см.

Ответ: 15 см.

32. Как узнать высоту недосягаемого предмета: дерева, столба, здания, скалы ..., используя свойства подобных треугольников (рис. 14.15)?

Рис. 14.15

Чтобы определить высоту недосягаемого предмета, такого как дерево, столб или здание, можно применить свойства подобных треугольников. Этот метод основан на том, что в солнечный день любой вертикально стоящий предмет и его тень на горизонтальной поверхности образуют прямоугольный треугольник.

Рассмотрим два таких треугольника, как показано на рисунке 14.15:

1. Первый прямоугольный треугольник образуется высотой недосягаемого предмета (например, дерева), которую мы хотим найти (обозначим её $H$), и длиной его тени на земле (обозначим её $L$).

2. Второй прямоугольный треугольник образуется объектом с известной высотой, например, ростом человека (обозначим его $h$), и длиной его тени (обозначим её $l$).

Эти два треугольника подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Во-первых, у них есть по одному прямому углу ($90^\circ$), так как и дерево, и человек стоят перпендикулярно земле. Во-вторых, угол, который образуют солнечные лучи с поверхностью земли, одинаков для обоих треугольников. Это связано с тем, что Солнце находится очень далеко, и его лучи можно считать параллельными. Таким образом, острые углы при концах теней у обоих треугольников равны.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон (катетов) равно. То есть отношение высоты дерева к росту человека равно отношению длины тени дерева к длине тени человека:

$ \frac{H}{h} = \frac{L}{l} $

Чтобы найти неизвестную высоту дерева $H$, нужно выразить ее из этой пропорции:

$ H = h \cdot \frac{L}{l} $

Следовательно, для практического нахождения высоты предмета необходимо в одно и то же время измерить длину его тени $L$, а также свой рост $h$ и длину своей тени $l$. Подставив эти три значения в формулу, можно вычислить искомую высоту $H$.

Ответ: Для определения высоты недосягаемого объекта нужно в солнечный день измерить свой рост ($h$), длину своей тени ($l$) и длину тени от объекта ($L$). Высота объекта ($H$) вычисляется по формуле $H = h \cdot \frac{L}{l}$, основанной на подобии треугольников, образованных объектами и их тенями.

33. Наблюдатель, находящийся в пункте

A (рис. 14.16), видит конец шеста C и

верхнюю точку D мачты, расположен-

ными на одной прямой. Какова высота мачты, если $AE = 60$ м, $AB = 6$ м и $BC = 3$ м?

Рис. 14.16

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $, показанные на рисунке.

По условию задачи шест $BC$ и мачта $DE$ перпендикулярны земле, на которой лежат точки $A$, $B$ и $E$. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $ являются прямоугольными: $ \angle ABC = 90^\circ $ и $ \angle AED = 90^\circ $.

Поскольку наблюдатель в точке $A$ видит конец шеста $C$ и верхнюю точку мачты $D$ на одной прямой, то точки $A$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол при вершине $A$ (то есть $ \angle BAC $ или $ \angle DAE $) является общим для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников), так как у них есть общий острый угол ($ \angle A $) и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $ следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$ \frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AE} $

Нам нужно найти высоту мачты $DE$. Выразим $DE$ из данной пропорции:

$ DE = \frac{BC \cdot AE}{AB} $

Подставим в формулу известные значения из условия: $ AE = 60 $ м, $ AB = 6 $ м и $ BC = 3 $ м.

$ DE = \frac{3 \cdot 60}{6} = \frac{180}{6} = 30 $ м.

Ответ: высота мачты составляет 30 м.