Номер 28, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Подобны ли два треугольника, если все их средние линии соответственно пропорциональны?

C

Да, два треугольника будут подобны, если все их средние линии соответственно пропорциональны. Приведем доказательство этого утверждения.

Пусть даны два треугольника: $\triangle ABC$ со сторонами $a, b, c$ и $\triangle A'B'C'$ со сторонами $a', b', c'$.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Обозначим средние линии $\triangle ABC$, соответственные сторонам $a, b, c$, как $m_a, m_b, m_c$. Тогда их длины равны $m_a = \frac{1}{2}a$, $m_b = \frac{1}{2}b$, $m_c = \frac{1}{2}c$. Аналогично, для $\triangle A'B'C'$ средние линии $m'_a, m'_b, m'_c$ имеют длины $m'_a = \frac{1}{2}a'$, $m'_b = \frac{1}{2}b'$, $m'_c = \frac{1}{2}c'$.

По условию задачи, все средние линии этих двух треугольников соответственно пропорциональны. Это означает, что существует коэффициент пропорциональности $k$, для которого выполняется равенство:

$\frac{m'_a}{m_a} = \frac{m'_b}{m_b} = \frac{m'_c}{m_c} = k$

Подставим в это равенство выражения для длин средних линий через стороны треугольников:

$\frac{\frac{1}{2}a'}{\frac{1}{2}a} = \frac{\frac{1}{2}b'}{\frac{1}{2}b} = \frac{\frac{1}{2}c'}{\frac{1}{2}c} = k$

После сокращения множителя $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе каждой дроби, получаем соотношение для сторон исходных треугольников:

$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$

Это равенство показывает, что соответственные стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ пропорциональны. Согласно третьему признаку подобия треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Таким образом, мы доказали, что $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Ответ: Да, подобны.